強擬凹複素曲面とその境界に現れる接触構造

强伪凹复杂表面及其边界处出现接触结构

• 批准号: 21K13797
• 负责人: 粕谷 直彦
• 金额: $ 1.58万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K13797/
• 关键词: 複素曲面; 接触構造; 強擬凹境界; ハンドル接着

研究課題(17K14193)において、強擬凹曲面への正則ハンドルの接着法を確立することにより「任意の3次元閉多様体はケーラーな強擬凹曲面の境界として実現可能である」という結果を得た。本研究課題ではその続きとして「強擬凹曲面上のケーラー形式と境界との相性がよい場合、境界上の接触構造はtightか？」という問題に取り組んでいる。現在のところ、以下の2つのアプローチを試みている。一つ目は、強擬凹曲面について何らかの意味で小平の埋め込み定理の類似が成り立てば、そこから境界のfillabilityが示され、特に接触構造がtightであることが示されるだろうというものである。このアプローチを推進する観点から、小平邦彦によるコンパクト複素曲面の分類に関する一連の論文、Marinescuによるhyperconcave endのfillabilityに関する論文、Lempertによる3次元強擬凸CR多様体のfillabilityに関する論文などを精読し、複素幾何およびCR幾何の知識・考え方を習得中である。一方、二つ目の方針は、ハンドル接着によって具体的に反例を構成するというものである。つまり、境界との相性がよいケーラー形式を持ちかつ境界がovertwistedである強擬凹曲面を作るという方針である。現段階では、こちらの方が有望ではないかと予想している。この方針においては、contact (+1)-surgeryに相当する正則ハンドル接着であって、ケーラー形式を適切に延長するものを構成することが重要となる。そのために、Gayによる凹シンプレクティックハンドル接着と我々の強擬凹正則ハンドル接着を融合させることが鍵になると考えている。

在研究项目（17K14193）中，通过建立一种将规则手柄附加到强赝凹曲面的方法，我们得到了“任何3D闭流形都可以实现为Kähler强赝凹曲面的边界”的结果。作为该研究项目的延续，我们正在解决这样的问题：“如果强赝凹表面上的凯勒形式与边界兼容，那么边界上的接触结构是否紧密？”目前，我们正在尝试以下两种方法。第一个是，如果小平嵌入定理的类比在某种意义上对于强赝凹表面成立，则它将显示边界的可填充性，特别是接触结构是紧密的。从推广这种方法的角度出发，我们仔细阅读了Kunihiko Kodaira的一系列关于紧复杂曲面分类的论文、Marinescu的关于超凹端可填充性的论文、关于3维强赝凸CR流形的可填充性的论文作者：Lempert 等。目前正在学习几何和 CR 几何的知识和思维方式。另一方面，第二个策略是通过附加句柄来具体构造一个反例。换句话说，该策略是创建一个强伪凹曲面，该曲面具有与边界兼容的凯勒形式，并且具有过度扭曲的边界。现阶段，我认为这个选择更有前途。在这个方向上，构建一种相当于接触（+1）手术的规范手柄粘合剂非常重要，它是科勒形式的适当扩展。为此，我们认为关键是将盖伊的凹辛手柄粘合力与我们强大的准凹常规手柄粘合力结合起来。

项目成果

強擬凹曲面の境界に現れる接触構造

强伪凹面边界处出现的接触结构

• 发表时间: 2021
• 作者: 粕谷直彦;粕谷直彦;粕谷直彦;粕谷直彦
• 通讯作者: 粕谷直彦

強擬凹複素曲面の境界に現れる接触構造

强赝凹复杂曲面边界处出现的接触结构

• 发表时间: 2022
• 作者: Kang Kyungkeun;Miura Hideyuki;Tsai Tai-Peng;粕谷 直彦
• 通讯作者: 粕谷 直彦