Research on arithmetic phenomena via generalized theory of motives

通过广义动机理论研究算术现象

• 批准号: 21K13783
• 负责人: 宮崎 弘安
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: NTT Communication Science Laboratories
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K13783/
• 关键词: モジュラス付きモチーフ; De Rham-Witt複体; 相互層; 構造層係数コホモロジー; Hasse-Arfの定理; モジュラス付きモチーフ理論; モチーフ; モジュラス; ホモトピー不変性; 代数的サイクル; 代数的K理論; 数論幾何; K理論

モジュラス付きモチーフ理論の応用とさらなる基盤整備を目指して研究を推進し、下記の成果を得た。(1)：モジュラス付きモチーフ理論の主目的は、従来のモチーフ理論では捉えられない「非ホモトピー不変」なコホモロジーを制御することである。最低限の基礎理論はこれまでの研究で完成したため、具体的に非ホモトピー不変なコホモロジーを制御することが次なるステップとなる。構造層のコホモロジーは、代数多様体上のコホモロジーの中で最も基本的であるにもかかわらず、ホモトピー不変でないために、従来理論では制御できない。本研究では、Shane Kelly氏と共に、構造層のコホモロジーの実現関手を構成し、モジュラス付きモチーフの圏が従来理論よりも真に広い表現力を持つことを初めて実証した。(2)：De Rham-Witt複体はp進コホモロジーを生み出す重要な対象であるが、その定義は多数のデータを含み複雑である。本研究では、小泉淳之介氏と共に、モジュラスペアの理論を用いたde Rham-Witt複体の新たな構成を与えた。より正確には、de Rham-Witt複体（のモデル）が、Witt環と乗法群（のモデル）のテンソル積を用いて表されることを示した。さらに、de Rham-Witt複体の種々の構造射が、Witt環と乗法群のモデルに現れる射影直線の自然な自己射から誘導されることも証明した。これによりp進コホモロジーの研究にモチーフ理論の観点から新たなアプローチが可能になる。また上記研究の過程で、相互層の理論を一般底上に拡張した。さらに、モジュラスペアに現れる因子の係数を有理数に拡張し、数論のHasse-Arfの定理のモチーフ的類似という非常に興味深い結果を得た。また、国際研究集会「Motives in Tokyo 2023」をオーガナイザーとして企画し、東京大学大学院数理科学研究科において開催した。

我们开展了旨在应用模数模体理论并进一步开发基础设施的研究，并获得了以下结果。 (1)：带有模的模体理论的主要目的是控制“非同伦不变”上同调，这是传统模体理论无法捕获的。由于迄今为止的研究已经完成了最小基础理论，下一步就是具体控制非同伦不变上同调。虽然结构层上同调是代数簇上同调中最基本的，但由于它不是同伦不变量，因此无法用常规理论控制。在这项研究中，我们与Shane Kelly一起构建了一个实现结构层上同调的函子，并首次证明了模数模体范畴比传统理论具有真正更广泛的表达能力。 (2)：De Rham-Witt 复形是生成 p 进上同调的重要对象，但其定义复杂且涉及大量数据。在这项研究中，我们与 Junnosuke Koizumi 一起，利用模数对理论给出了 de Rham-Witt 复形的新构造。更准确地说，我们证明了 de Rham-Witt 复形（的模型）可以使用维特代数和乘法群（的模型）的张量积来表达。此外，我们证明了德拉姆-维特复形的各种结构态射源自维特代数和乘法群模型中出现的射影线的自然自态射。这为从模体理论的角度研究p-adic上同调提供了一种新的方法。另外，在上述研究的过程中，我将互层理论扩展到了一个普遍的基础。此外，我们将模对中出现的因子的系数推广到有理数，并得到了一个非常有趣的结果，这是类似于数论中的Hasse-Arf定理的主题。此外，他还是在东京大学数学科学研究生院举行的国际研究会议“Motives in Tokyo 2023”的组织者。

项目成果

A motivic construction of the de Rham-Witt complex

德拉姆-维特综合体的动机构造

• 发表时间: 2022
• 期刊: arXiv
• 作者: Junnosuke Koizumi;Hiroyasu Miyazaki
• 通讯作者: Hiroyasu Miyazaki

一般底上のモジュラス付きモチーフ理論について

论一般基础上模数模体理论

• 发表时间: 2022
• 作者: Yamamoto Kohei;Moussaoui Souliman El;Hirata Yasuyuki;Yamamoto Susumu;Kubota Yuya;Owada Shigeki;Yabashi Makina;Seki Takeshi;Takanashi Koki;Matsuda Iwao;Wadati Hiroki;Ryuya NAMBA;宮﨑弘安
• 通讯作者: 宮﨑弘安

Recent development of the theory of motives with modulus (tentative)

模数动机理论的最新进展（暂定）

• 发表时间: 2022
• 作者: 山本航平;SoulimanEl Moussaoui;久保田雄也;大和田成起;富樫格;矢橋牧名;三浦紘大;安部弘隆;岡井啓輔;松田巌;横山利彦;関剛斎;高梨弘毅;和達大樹;Hiroyasu Miyazaki
• 通讯作者: Hiroyasu Miyazaki

Motives with modulus, III: The categories of motives

带模数的动机，III：动机的类别

• DOI: 10.2140/akt.2022.7.119
• 发表时间: 2022
• 期刊: Annals of K-Theory
• 影响因子: 0.6
• 作者: Kahn Bruno;Miyazaki Hiroyasu;Saito Shuji;Yamazaki Takao
• 通讯作者: Yamazaki Takao

Modulus triples

模数三元组

• 发表时间: 2022
• 期刊: arXiv
• 作者: Bruno Kahn;Hiroyasu Miyazaki
• 通讯作者: Hiroyasu Miyazaki