離散可積分系の背後にある幾何学的構造の解明

阐明离散可积系统背后的几何结构

基本信息

批准号：
19K14559
负责人：
中園信孝
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Tokyo University of Agriculture and Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19K14559/
关键词：
離散可積分系離散KdV方程式立方体上のコンシステンシー離散パンルヴェ方程式可積分系離散kdV方程式離散サインゴルドン方程式ガルニエ系 ABS方程式立方八面体上のコンシステンシー離散ソリトン方程式

项目摘要

本年度は，可積分な2次元偏差分方程式の理論について，以下の2つの研究を行なった。(1) dKdV方程式のCAC propertyの解明：浅水波の数理モデルであるKdV方程式の離散類似として広田の離散KdV方程式（以下，dKdV方程式とよぶ）が知られている。dKdV方程式のような Q(u(l,m),u(l+1,m),u(l,m+1),u(l+1,m+1))=0 の形で与えられる可積分な2次元の偏差分方程式には，Consistency around a cube (CAC) propertyを持つものが存在する。しかし，dKdV方程式がCAC propertyを持つか否かは知られていなかった。本研究では，dKdV方程式のConsistency around a broken cube (CABC) propertyを用いて，dKdV方程式がCAC propertyを持つことを示した。本年度は，この研究成果をまとめて論文誌に投稿した。(2) CAC propertyを持つ高次元偏差分方程式系からパンルヴェ型の高階常差分方程式系への簡約化:変形KdV方程式の離散類似としてlattice modefied KdV (lmKdV)方程式が知られている。また，lmKdV方程式の極限操作で得られる可積分な偏差分方程式としてBollのD4方程式がある。lmKdV方程式とD4方程式の組み合わせによりCAC propertyを持つ高次元の偏差分方程式系が構成できる。本研究では，その高次元偏差分程式系に周期簡約を課すことで，A6型およびA4型曲面上の離散パンルヴェ方程式を2階の場合として持つパンルヴェ型の高階常差分方程式系を構成した。また，得られた方程式系のLax pairおよびaffine Weyl 群対称性を構成した。本年度は，この研究成果をまとめて論文誌に投稿した。

今年，我们对可积二维微分微分方程理论进行了以下两项研究。（1）dKdV方程的CAC性质阐明：广田离散KdV方程（以下简称dKdV方程）被称为KdV方程的离散模拟，它是浅水波浪的数学模型。它以 Q(u(l,m),u(l+1,m),u(l,m+1),u(l+1,m+1))=0 的形式给出，如 dKdV 方程一些可积二维偏差方程具有立方体一致性 (CAC) 属性。然而，dKdV方程是否具有CAC性质尚不清楚。在本研究中，我们利用dKdV方程的CABC性质来证明dKdV方程具有CAC性质。今年，我们总结了这项研究的结果，并将其提交给一家期刊。 (2)从具有CAC性质的高维微分微分方程系统简化为Painlevé型高阶常微分方程系统：格子修正KdV(lmKdV)方程被称为修正KdV方程的离散模拟。另外，Boll's D4方程是对lmKdV方程进行极限运算得到的可积微分方程。将lmKdV方程与D4方程相结合，可以构造具有CAC性质的高维微分方程组。本研究通过对高维偏差方程组进行周期约简，构造了一个Painlevé型高阶常差分方程组，该系统以A6型和A4型曲面上的离散Painlevé方程为第二方程组。 -订购案例。我们还构造了所得方程组的Lax对和仿射Weyl群对称性。今年，我们总结了这项研究的结果，并将其提交给一家期刊。