単体分割を用いた結び目と枠付き3次元多様体の量子不変量の研究

使用单纯分解研究结和框架三维流形的量子不变量

基本信息

批准号：
19K14523
负责人：
鈴木咲衣
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

Pachner(2,3)移動は3次元球体の2つの四面体による分割と3つの四面体による分割の間の移動である。3次元多様体の理想単体分割のbranching構造を用いて1つの四面体に行列を与えると、Pachner(2,3)移動は5つの行列の間の5角関係式に対応する。 R. Kashaevにより、ハイゼンベルグダブルのカノニカル元が5角関係式を満たすことが知られている。本研究では、ハイゼンベルグダブルのカノニカル元を理想四面体に対応させることで、3次元多様体の不変量を構成する試みを行なってきた。R2年度には寺嶋郁二氏とSerban Mihalache氏との共同研究として、有限次元ホップ代数がinvolutory、unimodular、counimodularの場合に閉3次元多様体の位相不変量を与えた。R3年度にはR2年度の結果を拡張し、任意の有限次元ホップ代数を用いてベッチ数が0の枠つき閉3次元多様体の不変量の構成を与えた。3次元多様体の表示にはR. Benedetti and C. Petronioによるnormal o-graphを基本として用いた。令和4年度は枠付き閉3次元多様体に対する結果を執筆して投稿した。さらに結び目の補空間に対して上記の不変量を適用する方法を調べ、結び目の普遍不変量が補空間の枠つき理想単体分割から得られることがわかった。これは自身による平成30年の結果を改良するものである。令和4年度11月にはA. Beliakova (Zurich), R. Kashaev (Geneva), S. Baseilhac (Montpellier)を訪問し研究交流を行い、彼らの研究との関連や本研究の発展・応用について議論を深めることができた。交流をきっかけにR. Kashaev, E. Nakazawa, S. Garoufalidisと共同研究を開始した。

Pachner(2,3) 平移是三维球体除以两个四面体与除以三个四面体之间的平移。当使用三维流形的理想单纯除法的分支结构将矩阵赋予一个四面体时，Pachner(2,3)位移对应于五个矩阵之间的五边形关系。从R. Kashaev处得知，海森堡双元的正则元素满足五边形关系。在这项研究中，我们试图通过将海森堡双体的规范元素与理想四面体相关联来构造三维流形的不变量。在R2年，我们与Ikuji Terashima和Serban Mihalache联合研究，给出了有限维Hopf代数对合、幺模和共模时闭三维流形的拓扑不变量。在R3年，我们扩展了R2年的结果，并使用任意有限维Hopf代数给出了Betti数为0的封闭三维框架流形的不变构造。 R. Benedetti 和 C. Petronio 的正态 o-图被用作表示三维流形的基础。 2020 年，我编写并提交了封闭 3 维框架流形的结果。此外，我们研究了如何将上述不变量应用于结的补空间，发现结的通用不变量可以从补空间的框架理想单纯分解得到。这是他自己 2018 年成绩的进步。 2020年11月，我们拜访了A. Beliakova（苏黎世）、R. Kashaev（日内瓦）、S. Baseilhac（蒙彼利埃）进行研究交流，讨论了与他们的研究的关系以及这项研究的发展和应用。以加深讨论。这次交流的结果是，我们开始与 R. Kashaev、E. Nakazawa 和 S. Garoufalidis 进行联合研究。