テンソル圏の漸近解析による対称性の変容

通过张量类别的渐近分析进行对称性变换

基本信息

批准号：
19K03539
负责人：
山上滋
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は、研究期間を延長した１年目ということで、研究のための交流が復活はしたものの未だ十分ではない状況の下、解析的というよりは、代数的なテンソル圏による対称性の準備作業を多く行った。具体的には、内部対称性の典型的な系統であるA型の単純リー環に付随したテンソル圏の構造を Kazhdan-Wenzl に沿って再検討した。その中で、テンソル圏の構成がなされているのであるが、Schur-Weyl 型定理に基づく同型構成において、変形パラメータの入れ方に不整合なところが見つかり、その修正に多くの時間を費やした。また、外部対称性というべきポアンカレ群の表現の作る圏において、既約表現のテンソル積の積分分解を物理的表現以外にも押し広げ、表現のパラメータが複雑に関与する様子を観察した。その結果、群の表現によるテンソル圏を基礎に据える困難さを実感した。他に前年度末に上梓した積分論で展開した手法をさらに推し進めるべく、より初等的部分との接続を改めて整備した。これは、前年度にまとめた半円分布のずらし操作を実現可能にするStieltjes 変換への直接的アプローチともつながるもので、コーシー・リーマン式への批判から考案された方正関数の手法と異なり多変数関数でも有効な方法となっている。具体的には、開集合上の連続関数の広義積分で絶対収束するものを対象に、押え込み総和表示を駆使することで初等広義積分をルベーグ積分に効率よく移行させるものである。それは単に理論的整備にとどまらず、実用的な面でも効力をもつもので、余面積公式と積分の発散定理の間に密接な関係が可能であることも判明した。このこと自体は目新しいものではないが、発展の可能性を示唆するものである。

今年是研究期限延长的第一年，虽然研究交流已经恢复，但仍然不够。我们正在为使用代数张量范畴而不是分析范畴做准备。我做了很多工作。。具体来说，我们沿着 Kazhdan-Wenzl 线重新检查了与 A 型简单李代数相关的张量范畴的结构，这是一个典型的内部对称系统。其中构造了一个张量范畴，但是在基于Schur-Weyl型定理的同构构造中，我们发现变形参数的输入方式不一致，我们花了很多时间进行修正。此外，在具有外对称性的庞加莱群的表示范畴中，我们将不可约表示的张量积的积分分解扩展到物理表示之外，并观察了表示的参数是如何错综复杂地涉及的。由此，我意识到建立基于群表示的张量范畴的难度。另外，为了进一步推进去年年底发表的积分理论中发展的方法，我们重新组织了与更多基本部分的联系。这与 Stieltjes 变换的直接方法有关，该方法可以移动前一年总结的半圆形分布。这种方法对于函数也有效。具体来说，我们的目标是通过充分利用约束求和表示，有效地将初等广义积分转换为勒贝格积分，目标是开集上连续函数的广义积分的绝对收敛。这不仅是理论上的改进，而且具有实际效果，并且发现额外面积公式与积分的散度定理之间存在密切的关系。这本身并不新鲜，但它确实表明了进一步发展的可能性。