関数解析学における組み合わせ構造

泛函分析中的组合结构

• 批准号: 08640156
• 负责人: 山上 滋
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640156/
• 关键词: bimodule; tensor category; Mackey theory; orbifold; Takesaki duality; fusion algebra; Hopf algebra

作用素環論における構造の著しい例として双加群(bimodule)の作るテンソル圏(tensor category)がある。任意の離散群は、因子環への外部自己同型作用を経由して、テンソル圏に内在する群対称性を表すことができる。与えられたテンソル圏に対して、その群対称性を表す離散群Gの有限部分群H.Kを2つ用意することにより、テンソル圏を双圏(bicategory)として拡大する方法が本研究課題により解明された。これは群の表現論においてMackeyの理論(Mackey teory)として知られている群拡大の表現論の拡張になっており、群拡大によって得られた双圏の構造を群作用に伴うコホモロジー類および作用の安定可部分群の射影表現の決定に還元するものである。とくにH=Kの場合には、共形場理論におけるorbifold構成法を包含するものであり、H=Kが有限可換群の場合のorbifold双対性が作用素環における竹崎双対性(Takesaki duality)に由来するものであることが判明した。一方、有限群Gの作るテンソル圏から出発して、その部分群による拡大を考察することにより、同型ではないホップ代数(Hopf algebra)で、それらの表現の作るテンソル圏が同型になる例の存在が確認された。余可換なホップ代数としての群の場合には、位数8の二面体群Dと四元数群Qが同型な表現環を与えることは良く知られている。テンソル圏の同型はfusion代数(fusion algebra)の同型を引き起こし、群の表現の作るテンソル圏の場合にはfusion代数は表現環と同一視されるのであるが、DとQの場合には、表現の作るテンソル圏は同型にはならないことも確認された。以上の結果については、現在論文として準備中である。

算子代数理论中结构的一个著名例子是由双模形成的张量范畴。任何离散群都可以通过因子环上的外部自同构作用来表达张量范畴中固有的群对称性。对于给定的张量范畴，通过准备表示其群对称性的离散群 G 的两个有限子群 H.K，该研究项目将阐明将张量范畴展开为二范畴的方法。这是群展开表示论的扩展，称为群表示论中的麦基理论，这简化为 的稳定子群的射影表示的确定。特别地，H=K的情况包括共形场论中的轨道构造方法，并且H=K是有限交换群时的轨道对偶性等价于算子代数中的竹崎对偶性。从另一方面，通过从由有限群G形成的张量范畴出发并考虑其通过子群的扩展，存在这样的例子，其中由这些表达式形成的张量范畴在非同构Hopf代数中变得同构。在群作为共交换 Hopf 代数的情况下，众所周知，8 阶二面体群 D 和四元数群 Q 给出同构表示环。张量范畴的同构导致了融合代数的同构，在群表示创建的张量范畴的情况下，融合代数用表示环来标识，但在 D 和 Q 的情况下，表示还证实了创建的张量范畴不是同构的。上述结果目前正在准备成论文。