ブレイドシステムのHurwitz同値不変量の列の構成と曲面ブレイドへの応用

叶片系统中Hurwitz等价不变量序列的构造及其在弯曲叶片中的应用

基本信息

批准号：
19K03508
负责人：
矢口義朗
金额：
$ 2万
依托单位：
Maebashi Institute of Technology (2020-2022)Gunma National College of Technology (2019)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

カンドルの直積には，ブレイド群によるHurwitz作用が定義される。ブレイド群の直積をHurwitz作用で軌道分解することで，曲面ブレイドを完全に分類できることが知られているが，ブレイド群の直積における軌道分解は難しく未解決である。本研究は，ブレイド群の直積のHurwitz同値不変量を構成し，曲面ブレイドの未知の性質を発見することを目的としている。また，単純曲面ブレイドの1つの分岐点の周りのモノドロミーは，穴あき円盤内のコード（連結な単純曲線）と同一視できるため，単純曲線そのものの研究も必要不可欠となる。【前提1】研究代表者は，4次対称群の直積の部分集合で『長さ4』の巡回置換のみを並べてできる組の集合における軌道分解を2019年度に，『長さ3』の巡回置換のみを並べてできる組の集合における軌道分解を2020年度に遂行できている。【2022年度の成果1】上の結果の拡張として，「群（共役カンドル）Gの2つの部分カンドルS，Tについて，Sの任意の元がTのk個の元の積として（Hurwitz同値の意味で）一意的に分解できるとき，Sのn個の直積のHurwitz同値類の集合からTのkn個の直積のHurwitz同値類の集合への自然な全射が存在する」ことを示せた。この結果の曲面ブレイド以外への応用も見込まれる。【前提2】単純曲線を組み合わせ的に扱う場合，その連結成分を組み合わせ情報から求めることは「置換」のサイクル数を求めることに他ならない。2021年度は群馬大学の山本亮介氏と共同で，置換のサイクル数を代数的な仕組みにより求めるアルゴリズムを作成した。【2022年度の成果2】山本氏と2021年度に作成した置換のサイクル数を求めるアルゴリズムについて，山本氏と共同で論文にまとめるために打合せを重ねた。また，その連結成分数を組み合わせ情報のみを用いて表せるような単純曲線の族を見つけることができた。

刀片组的 Hurwitz 动作是针对 Quandl 直接产品定义的。众所周知，利用Hurwitz作用对叶片群直积进行轨道分解可以对弯曲叶片进行完全分类，但叶片群直积的轨道分解是困难且尚未解决的。本研究的目的是为叶片组的直积构造 Hurwitz 等价不变量，并发现弯曲叶片的未知属性。此外，由于简单弯曲叶片的一个分支点周围的单向性可以等同于穿孔盘内的一根绳索（一条连接的简单曲线），因此有必要研究简单曲线本身。 [前提1] 2019年，研究负责人将在4阶对称群的直积子集中仅排列“长度4”的循环排列而得到的一组集合中进行轨道分解，并使用循环排列2020 年，我们能够对仅排列形成的一组对进行轨道分解。【2022年成就1】作为上述结果的扩展，“对于群（共轭烛线）G的两个部分烛线S和T，S的任意元素都可以表示为T的k个元素的乘积（Hurwitz等价））我们证明了从 S 的 n 个笛卡尔积的 Hurwitz 等价类集合到 T 的 kn 个笛卡尔积的 Hurwitz 等价类集合存在自然射射。预计该结果将应用于除弯曲叶片之外的其他叶片。【前提2】以组合方式处理简单曲线时，从组合信息中求连通分量无非就是求“替换”的循环次数。 2021 年，我们与群马大学的 Ryosuke Yamamoto 合作创建了一种使用代数机制来计算排列周期数的算法。【2022年成果2】我们与山本先生进行了多次会议，讨论我们在2021年创建的计算更换周期数的算法，以便与山本先生一起将其编译成论文。我们还能够找到一系列简单曲线，其连通分量的数量可以仅使用组合信息来表示。