log共型場理論に対応する頂点作用素代数の幾何学的表現論の研究

对应于对数共形场理论的顶点算子代数几何表示理论研究

基本信息

批准号：
19J21384
负责人：
杉本祥馬
金额：
$ 1.6万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-25 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19J21384/
关键词：
表現論頂点作用素代数幾何学的表現論 log共形場理論

项目摘要

頂点作用素代数(VOA)は2次元共形場理論の数学的定式化として80年代に導入され、様々な分野と関係する興味深い対象である。古典的なVOAは半単純と呼ばれる性質を持ち、十分な研究がなされてきたが、半単純でないVOA(logVOA)に関してはその複雑さ故に従来の代数的手法が通用せず、これまであまり研究が進んでいなかった。特に、logVOAの主要な例であるlogW代数に関する結果は、$A_1$型を除けば長年皆無であった。申請者はこれまで、Feigin-Tipuninによって発案されたlogW代数の幾何的構成の解決を皮切りに、一般のlogW代数の様々な基本的な性質を証明してきた。logW代数の既約表現の構成、$G\times W_k(g)$-加群構造、指標公式などに関する前年度までの結果をまとめ、学術雑誌に投稿した(近日中に採録予定)。また、前年度に投稿した論文が、Selecta.Mathに掲載された。さらに、研究を進めていく中で、申請者のlogW代数に関する前述の結果の対応物が、正標数の簡約群の表現論でも存在するという事実に気づいた。これにより、今まで暗中模索の状態だったlogW代数の幾何学的表現論の研究を、正標数の簡約群のそれを参考に進めていけば良いと気づき、研究方針の策定に大きな進展をもたらした。特に、logW代数の長年の重要な予想であるlog-Kazhdan-Lusztig対応(logW代数と1の冪根に付随する準Hopf代数の表現圏同値)や、前年度からの課題であったlogW代数の既約表現の指標と格子VOAの既約表現の指標の変換行列の(logW代数版)Kazhdan-Lusztig多項式による記述を、BezrukavnikovらによるBeilinson-Bernstein型導来圏同値のlogW代数版を構成することで解決するというアプローチを発案し、現在研究を進めている。

顶点算子代数（VOA）作为二维共形场论的数学公式于 20 世纪 80 年代引入，是与各个领域相关的有趣学科。经典VOA具有半简单的性质，并已被广泛研究，但由于其复杂性，传统代数方法不适用于非半简单VOA（logVOA），迄今为止还没有进行过研究。进步。特别是，除了 $A_1$ 类型之外，logW 代数是 logVOA 的一个主要例子，多年来一直没有结果。迄今为止，申请人已经从解决由Feigin-Tipunin设计的logW代数的几何构造开始，总体上证明了logW代数的各种基本性质。我们总结了上一年关于logW代数不可约表示结构、$G\times W_k(g)$模结构、指标公式等方面的成果，并提交给学术期刊（预计近期接收）。此外，去年提交的论文发表在 Selecta.Math 上。此外，随着我研究的进展，我意识到上述关于申请人的logW代数的结果的对应部分也存在于正特征约化群的表示论中。由此，我意识到应该参考正特征约化群的研究，继续进行我一直在摸索中的logW代数的几何表示理论的研究，并在公式化方面取得了很大的进展。我的研究政策带来了。特别是，我们将重点关注 log-Kazhdan-Lusztig 对应关系（logW 代数和附于 1 根的拟 Hopf 代数的表示类别等价），多年来，它一直是 logW 代数的重要猜想，以及logW代数，这是去年以来的一个问题格VOA的不可约表示指数和不可约表示指数之间的变换矩阵。 Bezrukavnikov 等人设计了一种通过构造 Beilinson-Bernstein 型派生类别等价的 logW 代数版本来求解（logW 代数版本）Kazhdan-Lusztig 多项式描述的方法，目前我们正在对此方法进行研究。