スペクトル型を軸としたパンルヴェ型方程式の包括的理論

以谱型为中心的Painlevé型方程综合理论

基本信息

批准号：
20K03705
负责人：
川上拓志
金额：
$ 2万
依托单位：
The University of Tokyo (2022)Aoyama Gakuin University (2020-2021)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本研究課題では，90年代以降活発に研究されているパンルヴェ方程式の一般化，すなわち高次元化，多変数化，離散化などを統一的に理解するための理論の構築を目指し，主に（高次元の）パンルヴェ型差分方程式系・パンルヴェ型q-差分方程式系を対象として研究している．本年度は，2020年にJ. Phys. Aに掲載された論文で得たq-行列第六パンルヴェ方程式，及びそれに付随する線型q-差分方程式の退化を計算し，非線型q-差分方程式系とそれに付随する線型問題を得た．その非線型方程式系が行列第五パンルヴェ方程式を連続極限に持つことがわかった．また，フックス型でない線型q-差分方程式のスペクトル型を定義し，退化で得られた線型q-差分方程式をスペクトル型により特徴づけた．これらの結果を論文にまとめ，投稿した．4次元の場合，パンルヴェ型方程式の退化図式は（離散系を考慮に入れると）Garnier系列と行列パンルヴェ系列の2系列に分かれる．q-行列第六パンルヴェ方程式の退化を調べることは高次元のパンルヴェ型方程式の様相を知るための重要な手がかりとなることが期待される．

在这个研究项目中，我们的目标是推广自 20 世纪 90 年代以来一直被积极研究的 Painlevé 方程，并建立一个统一理解高维、多变量、离散化等的理论。我的研究重点是 Painlevé 型差分方程系统和 Painlevé 型 q 差分方程组。今年，我们将计算在 J. Phys 上发表的论文中获得的 q 矩阵第六 Painlevé 方程，我们得到了与之相关的线性问题。结果表明，该非线性方程组在连续极限上存在矩阵第五 Painlevé 方程。此外，我们定义了非Fuchsian线性q-差分方程的谱型，并利用该谱型对退化得到的线性q-差分方程进行了表征。这些结果总结在一篇论文中并提交。在 4 维情况下，Painlevé 型方程的简并图分为两个级数（考虑离散系统）：Garnier 级数和矩阵 Painlevé 级数。检查 q 矩阵第六 Painlevé 方程的退化有望为理解高维 Painlevé 型方程的各个方面提供重要线索。