Advancement in viscosity solution theory: asymptotic and boundary value problems

粘度解理论的进展：渐近问题和边值问题

基本信息

批准号：
20K03688
负责人：
石井仁司
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Tsuda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03688/
关键词：
関数方程式粘性解漸近問題境界値問題退化楕円型方程式

项目摘要

前年度までの研究を基盤として、粘性解理論の新展開を図り、完全非線形偏微分方程式に対する漸近問題と境界値問題を中心に理論と応用の両面で粘性解研究を推進した。ハミルトン・ヤコビ方程式の連立系に対する割引率消去問題の研究を進め次のような成果を得た。割引率消去の極限に於ける連立系の粘性解の（部分列を取ることなく）全列収束が成り立つためには連立系の未知関数に関する凸性が必要であることを研究論文として出版した。割引率消去における凸性の必要性についての成果をより正確に言えば、未知関数に関する凸性を持たない連立系の例を挙げ、この例に於いて割引率消去の極限で粘性解が全列収束しないことを示した。この様な例はB. Ziliottoの論文に於いて陰に示されていたが、本研究では全列収束が成立しない見通しの良い新しい例を構成した。境界値問題については、２次元ユークリッド平面における角のある領域に対する非線形ノイマン境界条件を持つ完全非線形退化楕円型境界値問題の研究を進めた。これまでの研究の詳細を再点検し、2次元平面に限定して粘性解に対する比較原理が成立するようなより広いクラスの境界条件を探求したが決定的な結論に至っていない。部分ラプラス(truncated Laplace)作用素を主要項とする微分方程式に対する粘性解と関連する積分方程式についての研究を行った。部分ラプラス作用素におけるラプラス作用素を分数冪ラプラス作用素に置き替えた方程式を対象に据え、非負粘性解の零集合の構造を明らかにした。この成果は専門雑誌に掲載決定している。

在前一年研究的基础上，我们着眼于粘性解理论的新发展，以渐近问题和完全非线性偏微分方程的边值问题为重点，从理论和应用两方面推进粘性解研究。我们对Hamilton-Jacobi方程联立系统的贴现率消除问题进行了研究，得到了以下结果。他发表的研究论文表明，系统的未知函数的凸性对于系统粘性解在贴现率消除极限下的完全序列收敛（不采取子序列）是必要的。为了更准确地说明折扣率消除中凸性的必要性，我们将给出一个关于未知函数不具有凸性的系统的例子，在这个例子中，在折扣率消除的极限下，所有的粘性解都是表明它不收敛。 B. Ziliotto 的论文中隐含地展示了这样的例子，但在本研究中，我们构建了一个具有良好前景的新例子，其中全序列收敛不成立。关于边值问题，我们研究了二维欧几里德平面中角区域的具有非线性诺伊曼边界条件的完全非线性简并椭圆边值问题。尽管我们重新审视了先前研究的细节，并探索了更广泛的边界条件，其中粘性解的比较原理在二维平面上成立，但我们尚未得出明确的结论。我们对以截断拉普拉斯算子为主项的微分方程的粘性解及相关积分方程进行了研究。重点关注将偏拉普拉斯算子中的拉普拉斯算子替换为分数幂拉普拉斯算子的方程，阐明了非负粘度解的零集结构。该结果已决定在专业期刊上发表。