A new departure for qualitative theory of diamond-alpha difference equations

金刚石-α差分方程定性理论的新起点

基本信息

批准号：
20K03668
负责人：
鬼塚政一
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Okayama University of Science
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は、ウラム安定性に関する学術論文6件、リヤプノフ安定性に関する学術論文1件が出版され、前年度に引き続き、多数の成果を得ることができた。特に、ダイヤモンドアルファ差分方程式のリヤプノフ安定性の結果を得たことで、大きな進展があった。差分方程式の刻み幅に対応するパラメターh、後退、前進、中心差分方程式を一般化するために導入されたパラメータα、そして、固有値に対応するλを用いて、安定性領域を明示するに至った。今回提示される安定性領域は、3種類あり、1つ目はλが実数である場合に限り、αλ-平面上に、漸近安定、安定、不安定の集合を特定し、安定性領域を明示した。2つ目はλが純虚数ηiの場合に限り、αη-平面上に、安定、不安定の集合を特定し、安定性領域を明示した。3つ目は、通常の前進差分方程式の場合によく知られる事実である「複素平面上のヒルガーサークル上、内部、外部に固有値λがあれば、それぞれ安定、漸近安定、不安定である」を拡張した安定性領域を得た。具体的には、ヒルガーサークルに対応する楕円を特定し、「楕円上、内部、外部にλがあれば、それぞれ安定、漸近安定、不安定である」ことを証明した。また、別の角度から捉えれば、ヒルガーサークルは前進差分方程式の虚部と呼ばれ、その内部は実部の負の部分、外部は実部の正の部分と呼ばれる。この度の成果により、ダイヤモンドアルファ差分方程式の虚部と実部を特定することに成功したと言える。これにより、後退、前進、中心差分方程式の虚部と実部に対する統一理論を確立することができた。さて、この結果以外にも2階線形微分方程式、2×2定数行列を係数にもつ微分方程式、クレロー型微分方程式、2次元非線形系、n次元の非線形方程式のウラム安定性に関連する結果、および、ある関数方程式のhyperstabilityに関連する結果を得た。

今年发表乌拉姆稳定性学术论文6篇，李亚普诺夫稳定性学术论文1篇，延续上年成果数量。特别是，我们在金刚石 α 差分方程的李雅普诺夫稳定性方面取得了重大进展。使用对应于差分方程步长的参数 h，引入用于推广后向、前向和中心差分方程的参数 α，以及对应于特征值的 λ，我们能够明确稳定区域。这次提出了三种类型的稳定区域。第一种是仅当 λ 为实数时，指定 αλ 平面上的渐近稳定性、稳定性和不稳定性的集合，并明确指示稳定区域。其次，只有当λ为纯虚数ηi时，我们才在αη平面上指定了稳定和不稳定的集合，并明确定义了稳定区域。第三个是普通前向差分方程的众所周知的事实：“如果在复平面上的希尔格圆上、内部或外部存在一个特征值 λ，则该特征值分别是稳定的、渐近稳定的或不稳定的” .”我们获得了扩展的稳定区域。具体来说，他们确定了与希尔格圆相对应的椭圆，并证明“如果椭圆上、椭圆内部或椭圆外部都有 λ，则它分别是稳定的、渐近稳定的或不稳定的。”从另一个角度来看，希尔格圆称为前向差分方程的虚部，内部称为实部的负部，外部称为实部的正部。有了这个结果，我们可以说我们已经成功地识别了金刚石 alpha 差分方程的虚部和实部。结果，我们能够为后向、前向和中心差分方程的虚部和实部建立统一的理论。除了这些结果之外，还有二阶线性微分方程的Ulam稳定性、以2×2常数矩阵为系数的微分方程、Clairaut型微分方程、二维非线性系统、n维非线性等相关的结果方程，并且，我们得到了与某个函数方程的超稳定性相关的结果。