非線形微分方程式系の定性的理論に関する研究

非线性微分方程系统定性理论研究

基本信息

批准号：
08J00124
负责人：
鬼塚政一
金额：
$ 0.77万
依托单位：
Shimane University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2008
资助国家：
日本
起止时间：
2008 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

平成20年度において、私が主として取り組んだテーマは変数係数をもつ減衰振動子及び2次元常微分方程式系の漸近安定性と一様漸近安定性の研究である。当該研究開始当初、半分線形微分方程式系の零解の漸近安定性について考察した。この方程式はp-ラプラシアン作用素と呼ばれる応用上重要な項をもち、線形微分方程式がもつ2つの性質のうち「解の定数倍が解になる」性質をもつ。しかしながら、「解の和が解になる」とは限らないことから、線形理論を使うことができない。本研究では、線形理論を用いることなく、ある特別なリヤプノフ関数を構成し、解のエネルギーの増減を厳密に解析することで、零解が漸近安定性であるための十分条件を与えた。上記の漸近安定性に関する研究を進展させるため、より臨界的な例を考えることが要求された。すなわち、漸近安定であるが一様漸近安定でない例が定理の良さを示すうえで必要であった。例を考察する過程において、コンピュータを使用した数値実験を行うことで、微分方程式の解の性質を予想することができた。この予想を基に、一様漸近安定でないための十分条件を与えることを研究目的とし変数変換とリヤプノフ関数を用いることで、証明を与えた。この成果との比較で、変数係数をもつ減衰振動子の零解が一様漸近安定であるための十分条件も考察し、新しい知見を得た。当該研究によって、2次元常微分方程式系における一様漸近安定性と漸近安定性の違いが明確となり、さらに半分線形微分方程式と線形微分方程式の解構造の類似性が明らかとなった。

2008年主要研究变系数阻尼振子和二维常微分方程系统的渐近稳定性和一致渐近稳定性。在本研究之初，我们考虑了半线性微分方程系统零解的渐近稳定性。该方程在实际应用中有一个重要的术语，称为p-拉普拉斯算子，并且具有“解是常数乘以解”的性质，这是线性微分方程的两个性质之一。然而，由于并不总是“解之和就是解”，因此不能使用线性理论。在本研究中，我们没有使用线性理论，而是构造了一个特殊的Lyapunov函数，并严格分析了解能量的增加/减少，从而为零解渐近稳定提供了充分条件。为了推进上述渐近稳定性的研究，有必要考虑更关键的例子。换句话说，需要一个渐近稳定但非一致渐近稳定的例子来证明该定理的优点。在考虑示例的过程中，我们能够通过使用计算机进行数值实验来预测微分方程解的性质。基于这个猜想，我的目的是为非均匀渐近稳定性提供一个充分条件，并利用变量变换和Lyapunov函数给出了证明。与这个结果相比，我们还考虑了变系数阻尼振子零解一致渐近稳定的充分条件，得到了新的认识。该研究阐明了二维常微分方程系统中一致渐近稳定性与渐近稳定性的区别，也阐明了半线性微分方程与线性微分方程解结构的相似性。