Non-Vaisman LCK structures on solvmanifolds

求解流形上的非 Vaisman LCK 结构

基本信息

批准号：
20K03622
负责人：
澤井洋
金额：
$ 1.41万
依托单位：
National Institute of Technology(KOSEN),Numazu College
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

局所共形ケーラー構造において、そのリー形式がレビ・チビタ接続に関して平行となるとき、ヴァイスマン構造という。ヴァイスマン構造をもつ可解多様体には構造定理があり、4 次元局所共形ケーラー可解多様体も分類がされている。そして、4 次元可解多様体である井上曲面は、非ヴァイスマンな局所共形ケーラー構造をもつ典型的な例である。なお, 一般の非ヴァイスマンな局所共形ケーラー多様体について、4 次元可解多様体以外の例は知られていない。また、井上曲面は、 2 ステップべき零多様体といわれる, 比較的トーラスに近いべき零多様体の 1 次元拡張で与えられる可解多様体である。このような背景のなかで、本年度は以下の成果が得られた：2 ステップべき零多様体を 1 次元拡張し、この可解多様体が非ヴァイスマンな局所共形ケーラー構造をもつならば、上述の井上曲面となることを示した。証明方法は、まず、非ヴァイスマンな局所共形ケーラー構造のリー形式を決定した。そして、複素構造に関する非ヴァイスマンな局所共形ケーラー構造をもつための必要な条件を求め、これとユニモジュラー条件から、上記の成果を得た。上記の意義・重要性は以下の通り：6 次元局所共形ケーラー可解多様体について、ヴァイスマン型は分類されているものの、非ヴァイスマン型は未解決である。上記の成果は、非ヴァイスマン型局所共形ケーラー可解多様体の構成・分類に大きく寄与するものである。一方で、（6 次元の分類の結果に依存するが、）局所共形ケーラー可解多様体の構造定理を示唆している可能性もある。

在局部共形的凯勒结构中，当其李形式与列维-奇维塔连接平行时，称为魏斯曼结构。具有 Weissmann 结构的可解流形存在结构定理，并且还对 4 维局部共形 Kähler 可解流形进行了分类。 Inoue 表面是一个 4 维可解流形，是非 Weissmann 局部共形 Kähler 结构的典型示例。请注意，除了 4 维可解流形之外，没有已知的一般非魏斯曼局部共形凯勒流形的示例。另外，井上面是由零幂流形的一维延伸给出的可解流形，比较接近环面，称为两步零幂流形。在此背景下，我们今年得到了以下结果：我们将两步幂流形扩展一维，如果该可解流形具有非魏斯曼局部共形 Kähler 结构，则，证明上述井上得到曲面。证明方法首先确定了非Weissmann局部共形Kähler结构的Lie形式。然后，我们找到了复杂结构具有非魏斯曼局部共形Kähler结构的必要条件，并由此和幺模条件得到了上述结果。上述意义和重要性如下：虽然Weissmann类型已经被分类为6维局部共形Kähler可解流形，但非Weissmann类型尚未得到解决。上述结果对非Weissmann型局部共形Kähler可解流形的构造和分类有很大贡献。另一方面，它也可能意味着局部共形凯勒可解流形的结构定理（取决于六维分类的结果）。