Birational geometry and derived categories toward non-commutative birational geometry

双有理几何和非交换双有理几何的派生范畴

基本信息

批准号：
21H00970
负责人：
川又雄二郎
金额：
$ 10.73万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

今年度は非可換変形の理論の研究を継続するとともに、代数多様体の特異点圏の研究も行った。ここで非可換変形というのは、非可換環をパラメーター空間とする変形のことである。代数多様体X上の連接層Fの変形は、DG環A = RHom(F,F)で記述される。Aは元来非可換であるので、変形のパラメーター空間として非可換なものを考えるのは自然である。さらに、非可換変形は可換変形よりも豊富に存在し、変形空間の解析からより多くの不変量を得ることができる。今年度に書いた論文では以下のことを証明した：３次元代数多様体のフロップ縮小写像に関して、この双有理写像を任意に可換変形したときの非可換変形環の変形を記述し、戸田氏やHua氏が証明したGopakumar-Vafa不変量に関する公式を、例外曲線が複数個ある場合に拡張し、そこで述べられた予想も証明した。また、一般の半普遍変形のパラメーター環を、ベクトル空間T１およびT２を使って記述する定理を証明した。さらに、コンパクト複素多様体の非可換変形を定義し、T１およびT２がHochschildコホモロジーを使って記述できることを証明した。代数多様体Xの特異点の圏は、連接層の導来圏を完全複体のなす部分圏で割った商として定義される。Xが超曲面特異点のみを持つ場合は行列分解の圏と一致し、重要である。XがGorensteinである場合にはHom集合が有限次元になるが、非Gorensteinの場合には一般には無限次元である。ここでは、極小モデル理論で重要な商特異点を持つ重みつき射影空間の場合を研究し、いくつかの例の計算を行った。

今年，我们继续研究非交换变换理论，还研究了代数簇的奇性范畴。这里，非交换变换是指参数空间是非交换环的变换。代数簇 X 上连接层 F 的变形由 DG 环 A = RHom(F,F) 描述。由于 A 本来就是不可交换的，所以很自然地将不可交换参数视为进行变换的参数空间。此外，非交换变形比交换变形更加丰富，通过变形空间的分析可以得到更多的不变量。在我今年写的论文中，我证明了以下内容：关于三维代数簇的 flop 归约图，我描述了当这个双有理图任意交换变形时非交换变形环的变形，并且 Toda He 推广华博士和华博士在存在多条异常曲线的情况下证明的Gopakumar-Vafa不变量的公式，也证明了其中所述的猜想。我们还证明了一个定理，该定理描述了使用向量空间 T1 和 T2 的一般半通用变形的参数环。此外，我们定义了紧复流形的非交换变换，并证明T1和T2可以用Hochschild上同调来描述。代数簇 X 的奇异性范畴定义为连通束的导出范畴除以完全复形子范畴的商。如果X仅具有超曲面奇点，则它与矩阵分解的范畴一致并且很重要。如果 X 是 Gorenstein，则 Hom 集具有有限维，但在非 Gorenstein 情况下，它通常是无限维的。在这里，我们研究了具有商奇点的加权射影空间的情况，这在最小模型理论中很重要，并计算了一些例子。