代数曲線の族に付随する基本群スキームの比較準同型の研究とその応用

代数曲线族基本群格式的比较同态研究及其应用

基本信息

批准号：
19J00366
负责人：
小田部秀介
金额：
$ 2.83万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-25 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19J00366/
关键词：
基本群スキーム正標数線型簡約群スキーム代数曲線 p階数法pモチビックコホモロジー不分岐コホモロジーゼロサイクル有限平坦主束逆ガロア問題埋め込み問題ルートスタック単純群スキーム Cartan型Lie代数一般Kostrikin-Shafarevich予想

项目摘要

主に以下の2つの課題に取り組んだ: (1) 法p不分岐コホモロジーの双有理不変性, (2) 正標数の代数曲線の線型簡約基本群概形の余特殊化写像およびその応用. 以下で課題(1), (2)それぞれにおいて得られた成果について説明をする.(1) 成果として, 法p不分岐コホモロジーの双有理不変性に関する問題の肯定的解決が挙げられる. 正標数p>0の体上定義された固有スムーズ代数多様体が普遍的に自明なゼロサイクルのなすChow群を持つならば, そのコホモロジカルブラウアー群も自明であることが知られていた. その結果をより一般の法p不分岐エタールモチビックコホモロジーにまで拡張することに成功した. 法p不分岐エタールモチビックコホモロジーが一般にホモトピー不変でないことが問題を非自明にしていたが, ある種のtame部分群を考察することによりこれを克服した. 与えた証明は古典的な道具立てだけで構成されている. またコホモロジーの具体的な記述や剰余写像の計算によるものであり, 今回行った計算は有理性問題などの具体的な問題に対しても有用であろうと期待される. さらに関連した問題にも取り組み, 国内の専門家2名と議論を重ね, 一定の理解に辿り着いた.(2) 正標数の代数曲線の線型簡約基本群スキームについて前年度までにある程度成果が得られていたが, モジュライ依存性や数値的不変量の復元についてアフィン代数曲線の場合は不十分な点が多く残されていた. 今年度, 研究を進めたことにより, これらについて大きく理解が進んだ. 特に双曲的代数曲線の場合は, 種数やカスプ点集合の濃度, p階数といった数値的不変量が線型簡約基本群スキームで復元できることがわかった. これについては正標数の幾何的基本群の遠アーベル幾何学に詳しい専門家からの助言によって明らかにすることができた事実である.

解决了以下两个主要挑战：（1）模态P-In-ranched共同体的双性不变性，（2）线性简化的基本组的同级映射，概述了阳性表示曲线的代数曲线及其应用。在下面，我们将解释在每个任务（1）和（2）中获得的结果：（1）结果是对模态P-In-rant-In-Cranched coomomology双重不变性问题的积极解决方案。如果带有正表示p> 0的场定义的固有的固有平滑代数歧管具有普遍明显的零周期盘组，则众所周知，同胞Brauer组也是自称的。我们已成功将结果扩展到了更通用的模态P-In-in-Cranched Etal动机共同体。问题在于，ETAL动机同胞通常并不是同质的不变性，但这是通过考虑某个驯服亚组来克服的。给出的证明仅由经典工具组成。它也基于对共同体学和残留图像的计算的具体描述，并且预计这次执行的计算将对特定问题（例如理性问题）有用。此外，我们还研究了相关问题，讨论了两名国内专家，并有了一定的理解。（2）直到上一年的代数曲线的线性简化基本组方案已经获得了一定程度的结果，但在仿射代数曲线的情况下，在模式依赖性和数值不变的情况下，有许多不足的点。今年，研究已经取得了长足的进步。特别是，在双曲线代数曲线的情况下，可以使用线性简化的基本组方案来恢复种类数量，尖点集浓度和p级数等数值不变性。这可以通过专家的建议来阐明，这些专家对几何基本符号基本群体的几何几何学知识渊博。