On embedded resolution of singularities for three dimensional algebraic varieties

三维代数簇奇点的嵌入解析

基本信息

批准号：
20K03546
负责人：
川ノ上帆
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Chubu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03546/
关键词：
代数幾何学特異点解消正標数 IFP

项目摘要

本研究の主題は正標数における特異点解消，特に3次元多様体の埋め込み特異点解消である．正標数における特異点解消の問題は，非埋め込みの場合は3次元まで，埋め込みの場合は2次元までしか解決しておらず，全ての次元で解決している標数零の場合とは大きく状況が異なる．特に3次元埋め込みの場合は未だ特筆すべき結果は得られておらず，この分野で最優先の課題と目されている．本研究者はIFPというプログラムを提唱し，これを推進する形で上記の問題に取り組んでいる．令和 3--4 年度は2次元の場合の手法を拡張して3次元の場合の研究を推進すること, 特に正標数3次元単項型の場合に機能する単項型不変量を見い出すことが当初からの目標であった．コロナ禍の影響で本研究計画の前半がひどく遅れており予定通りとはいかなかったが，概ね上記の方針に沿って研究を行った．3次元の場合に2次元の場合と同様の観点から解析を進めようとすると，爆発の中心に任意性が現れる点や配置のバリエーションが大量になる点などが3次元の場合の困難として挙げられる．正標数の爆発に特有の現象であるMoh-Hauserの跳躍現象をどう制御するかも重要な問題である．我々は2次元の場合は跳躍現象によらず減少する指標を導入する方式と跳躍現象の漸近的な挙動を解析する方式の2通りの解決法を提示した．しかし，3次元においてはいずれの方法でもこの部分を克服できていない．共同研究者の松木氏と議論を重ねて以前よりは進展した知見を得たが, 結果が限定的であり状況設定もかなり複雑なので，研究を公表できる形に持っていくには更に時間が必要である．以上のように，令和4年度は一定の進展はあったものの残念ながら部分的であった．なお，リスボンで開催された研究会，ウィーン大学などで関連する問題についての講演を行った．

本研究的主题是正特性奇异性消解，特别是三维流形的嵌入式奇异性消解。正特征中的奇点解析问题在非嵌入情况下仅解决了最多3维，在嵌入情况下最多解决了2维，这与零特征情况有显着不同，零特征情况在所有维度的情况都不同。特别是在 3D 嵌入方面，尚未获得值得注意的结果，这被认为是该领域的首要问题。该研究人员提出了一个名为IFP的方案，并正在通过推广该方案来解决上述问题。在Reiwa 3--4中，我们将扩展2维情况的方法来促进3维情况的研究，特别是，我们的目标是找到一个在正特征3的情况下起作用的单项式不变量。这就是一开始的目标。尽管该研究计划上半年因新冠肺炎疫情的影响而被严重推迟，没有按计划进行，但研究工作总体上是按照上述政策进行的。如果你尝试从与 2D 情况相同的角度进行 3D 情况的分析，3D 情况的困难包括爆炸中心出现任意性以及排列的大量变化。．另一个重要问题是如何控制莫豪瑟跳跃现象，这是一种特有的正特性爆炸现象。我们针对二维情况提出了两种解决方案：一种是引入一个无论跳跃现象如何都会减小的指数，另一种是分析跳跃现象的渐近行为。然而，在 3D 中，这两种方法都无法克服这个问题。通过与我的合作研究员松木先生的反复讨论，我们获得了比以前更先进的知识，但成果有限，而且情况设置也相当复杂，因此将研究转化为形式还需要更多时间是的。如上所述，虽然2020财年取得了一些进展，但不幸的是这只是部分进展。此外，我还在里斯本和维也纳大学举行的研究会议上就相关问题做了演讲。