概均質ベクトル空間の整数論

近似齐次向量空间的数论

基本信息

批准号：
20K03512
负责人：
雪江明彦
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03512/
关键词：
概均質ベクトル空間密度定理 GIT 代数群有理軌道幾何学的不変式論

项目摘要

2020年度から2022年度の間に雪江は5本の論文、合計343ページを発表した。大きく分けて (1) GIT stratification に関する論文3本 (2) 直交群の非正規玉河数の密度に関する論文 (3) tri-Hermitian form に関連した結果に分けられる。(1) は4部作の予定の論文だが、そのうち1-3部まで発表した。特に第3部は160ページの大作である。第1部では、GIT stratification のパラメータ集合がコンピューターで計算できることを示し、群が一般線形群の直積である重要な場合に、それを実行した。第2部では第1部で計算した結果を使い、そのパラメータに対応する Stratum が空集合かどうかを判定し、空集合でない場合には、それに含まれる有理軌道を2つの概均質ベクトル空間の場合にすべて決定した。第3部では同じことを「quintic case」と呼ばれる概均質ベクトル空間の倍に実行した。(2) 直交群の非正規玉河数の密度はZ上の場合には Siegel によって70年前に決定された。Q上の場合は数えるものが少ない。一般に少ないものを数えるほうが難しい。この場合のゼータ関数の極は30年前に雪江が決定し、その結果を利用して早坂と1,2部まで発表し、この結果も10年以上前に結果を決定済だったが、諸事情により発表に至った。(3) k^2 の3つのテンソル積は gl_2 の3つの積が作用する概均質ベクトル空間だが、3次体のガロア閉包のガロア群を作用させることにより、non-split form を持つ。この概均質ベクトル空間から期待できる密度定理は3次体Kを固定し2次体Fを走らせたとき h_{KF}R_{KF}/h_FR_F の密度である。今回この密度を決定した。これは少し前に発表した、第1部の論文の続きで第2部である。

2020年至2022年间，Yukie发表了五篇论文，总计343页。它们大致可分为（1）三篇关于 GIT 分层的论文，（2）一篇关于正交群中不规则玉川数密度的论文，以及（3）与三埃尔米特形式相关的结果。 (1) 是一篇计划由四部分组成的论文，但我只发表了其中的 1-3 部分。特别是第三部分是一部长达160页的巨著。在第 1 部分中，我们展示了可以计算 GIT 分层的参数集，并且我们在群是一般线性群的直积的重要情况下这样做了。在第二部分中，我们利用第一部分计算的结果来判断参数对应的Stratum是否为空集，如果不是空集，我们将其中包含的有理轨道定义为两个近似齐次的向量一切都已经决定了。在第三部分中，我们在称为“五次情况”的近似齐次向量空间中做了两次相同的事情。 (2) Z 上正交群的非正态玉川数的密度是 70 年前由 Siegel 确定的。在上述 Q 的情况下，几乎没有什么可计算的。一般来说，计算小东西比较困难。本例中的 zeta 函数的极点是由纪江在 30 年前确定的，并利用该结果，他和早坂发表了第 1 部分和第 2 部分，这个结果也在 10 多年前就已经确定了，但是各种这样的公告由于情况。 (3) k^2 的三个张量积是 gl_2 的三个乘积所作用的近似齐次向量空间，但它们通过作用于三次场伽罗瓦闭包的伽罗瓦群而具有非分裂形式。从这个近似齐次向量空间可以预期的密度定理是当三次场K固定并且运行二次场F时的密度h_{KF}R_{KF}/h_FR_F。这次，我们决定了这个密度。这是本文的第二部分，是我不久前发表的第一部分的延续。