優臨界・臨界・劣臨界楕円型方程式の解構造の総合的研究

综合研究超临界、临界和亚临界椭圆方程的解结构

基本信息

批准号：
19H01797
负责人：
宮本安人
金额：
$ 10.9万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19H01797/
关键词：
優臨界楕円型方程式臨界楕円型方程式放物型方程式変分的手法モース指数球対称解ジョセフ・ルンドグレン指数擬スケール非線形楕円型方程式非線形放物型方程式優臨界臨界劣臨界特異解変分問題時間局所可解性変分法劣臨界楕円型方程式

项目摘要

(1)[臨界楕円型方程式] 今年度の一番大きな成果は，臨界楕円型方程式の研究であった．具体的な問題は次のとおりである．3次元以上の円環領域における臨界楕円型方程式（Henon方程式）のディリクレ問題の（符号変化解を含む）任意の球対称解を考える．まず，球領域の場合は，Pohozaevの恒等式より正値解が存在しないことが知られている．一方，円環領域の場合は正値解が存在するので，円環の内側の半径を０にする極限が興味深い問題となる．そこで，（正値解に限らない）任意の球対称解のモース指数が，内側の半径を０にする極限でどのようになるかを考察した．この問題のパラメータは，空間次元，方程式の指数，円環の内側と外側の半径，符号変化解の結節領域の数があるが，主結果はこれらのパラメータを用いて極限における解のモース指数を完全に決定した．また，極限を取らない場合（一般の円環領域の場合）は，モース指数の上からと下からの評価を得た．さらに，正値解の場合は，（極限を取らなくても）任意の円環領域でモース指数を決定した．この方面の研究はイタリアのグループが精力的に進めているが，これまで劣臨界の問題が多く扱われ臨界の場合は知られていなかった．(2)[劣臨界楕円型方程式] 円環領域における劣臨界楕円型方程式の球対称解のモース指数に関して，実現可能性が高い研究テーマを発見した．(3)[放物型方程式] 指数関数より大きい増大度を持つ放物型方程式の全領域における初期値問題を考える．非線形項に関する適当な仮定の下で正値特異球対称解を持つが，初期関数がこの正値特異球対称解より大きいか小さいかに応じて，放物型方程式の可解性が異なることを示すことが目標である．このうち，解の存在に関して証明が成功した．今後は非存在の証明を目標とする．そして，特異解が可解性の閾値となっていることを証明したい．

（1）[关键椭圆方程]今年最大的成就是对关键椭圆方程的研究。具体问题如下：考虑3D或更高音调区域中关键椭圆方程（亨逊方程）的DIRICHLET问题的任何球形对称解（包括标志变换解决方案）。首先，众所周知，在球体地区，没有比Pohozaev身份的积极解决方案。另一方面，在环形区域的情况下，有一个正解，因此环的内半径为零的极限是一个有趣的问题。因此，我们检查了任何球形对称溶液的MOHS指数（不限于阳性溶液）如何在内半径为零的情况下处于极限。该问题的参数是空间维度，方程式指数，环形的内部和外部半径以及标志变换解决方案的淋巴结区域的数量，但是主要结果使用这些参数来完全确定解决方案的MOHS指数。此外，如果没有限制（对于一般的环形区域），则从上方和下方获得评估。此外，在阳性溶液的情况下，在任何环形区域（无限制）确定了MOHS指数。尽管意大利群体正在积极在这一领域进行研究，但迄今为止已经解决了许多劣等关键问题，并且该问题的关键性尚不清楚。（2）[亚临界椭圆方程]我们发现了一个高度可行的研究主题，该主题涉及圆环区域的亚临界椭圆方程的球形对称解的MOHS指数。（3）[抛物线方程]考虑抛物线方程所有区域的初始值问题，其增加程度比指数函数更大。尽管在适当的关于非线性术语的假设下，我们具有阳性奇异的球形对称解，但目标是证明抛物线方程在溶解度上有所不同，具体取决于初始函数是否大于或少于这种呈阳性的奇异球形对称解。其中，解决方案存在的证明是成功的。将来，目标是证明它不存在。我想证明，单数解决方案是解决性的阈值。

项目成果

期刊论文数量（64）

专著数量（0）

科研奖励数量（0）

会议论文数量（0）

专利数量（0）

Stability for stationary solutions of a nonlocal Allen-Cahn equation

非局部 Allen-Cahn 方程平稳解的稳定性

DOI：
10.1016/j.jde.2020.11.024
发表时间：
2021
期刊：
Journal of Differential Equations
影响因子：
2.4
作者：
Y. Miyamoto;T. Mori;T. Tsujikawa and S. Yotsutani
通讯作者：
T. Tsujikawa and S. Yotsutani

Solvability of the heat equation with a nonlinear boundary condition

具有非线性边界条件的热方程的可解性

DOI：
10.1137/17m1131416
发表时间：
2019
期刊：
SIAM J. Math. Anal.
影响因子：
0
作者：
Hisa;Kotaro; Ishige;Kazuhiro
通讯作者：
Kazuhiro

Universite Paris-Saclay/Universite de Lorraine/CNRS(フランス)

巴黎萨克雷大学/洛林大学/CNRS（法国）

DOI：
发表时间：
期刊：
影响因子：
0
作者：
通讯作者：

劣線形項を持つ非線形楕円型方程式の非負値解の挙動

具有次线性项的非线性椭圆方程非负解的行为

DOI：
发表时间：
2020
期刊：
影响因子：
0
作者：
Yasuhito Miyamoto;Marius Ghergu;生駒典久
通讯作者：
生駒典久

Incomplete blow-up of solutions for semilinear heat equations with supercritical nonlinearity

具有超临界非线性的半线性热方程解的不完全爆炸

DOI：
发表时间：
2019
期刊：
影响因子：
0
作者：
Yasuhito Miyamoto;Marius Ghergu;生駒典久;Yasuhito Miyamoto;森竜樹，久藤衡介，宮本安人，辻川亨，四ツ谷晶二;宮本安人;宮本安人;宮本安人;宮本安人，Theo Giraudon;内藤雄基
通讯作者：
内藤雄基