Geometry of optimal transport theory and gradient flows

最优输运理论和梯度流的几何

• 批准号: 19H01786
• 负责人: 太田 慎一
• 金额: $ 10.15万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19H01786/
• 关键词: 勾配流; 凸関数; 曲率; 最適輸送理論; Wasserstein距離; Gromov双曲空間; 重心; ピラミッド; リッチ曲率; 等周不等式; ローレンツ・フィンスラー多様体; 分解定理; 測度の集中; フィンスラー多様体; フィンスラー幾何学; ローレンツ幾何学; 情報幾何学; エントロピー; 局所化; 対数ソボレフ不等式; 勾配流; 凸関数; 曲率; 最適輸送理論; Wasserstein距離; Gromov双曲空間; 重心; ピラミッド; リッチ曲率; 等周不等式; ローレンツ・フィンスラー多様体; 分解定理; 測度の集中; フィンスラー多様体; フィンスラー幾何学; ローレンツ幾何学; 情報幾何学; エントロピー; 局所化; 対数ソボレフ不等式

研究代表者の太田はGromov双曲空間上の凸関数の勾配流の研究を行い、勾配流の収縮性と確率測度の重心の振る舞いについて成果を得た。Gromov双曲空間は巨視的な（粗い）意味で断面曲率が負の距離空間であり、幾何学的群論や力学系でよく研究されている。Gromov双曲空間はリーマン多様体ではないフィンスラー多様体を含むが、凸関数の勾配流の挙動がよくわかる樹木に近いことを利用して勾配流を調べ、定量的な収縮性の評価を与えることに成功した。更に、確率測度の重心についても、CAT(0)空間（曲率が0以下の距離空間）との比較によりWasserstein距離に関する収縮性を明らかにした。この他、距離関数が対称ではない距離空間上の凸関数の勾配流についての共同研究も行なった。研究分担者の横田はボレル確率測度を持つ完備可分距離空間である測度距離空間及び測度距離空間の同型類からなるピラミッドと呼ばれる集合の幾何学に関する研究を行った。特に、数川大輔氏（九州大学）との共同研究でピラミッドのプレコンパクト部分集合に関する研究を行った。また、2つのピラミッドの積を定義し、収束するピラミッドの列の積の収束に関する研究を行なった。研究分担者の高津は最適輸送距離の緩和問題に引き続き取り組み、勾配流を用いて解くことができない有限集合上の最適輸送問題を、凸関数で緩和して勾配流の手法を適用する共同研究を行なった。特に凸関数としてBregman divegenceに着目し、緩和された最適輸送問題の性質を調べた。また、最適輸送問題の亜種であるsliced Wasserstein距離についても共同研究で考察を深めた。

主要研究者OTA研究了Gromov双曲线空间中凸功能的梯度流，并获得了梯度流的收缩性以及概率测量重心的质心行为的结果。 Gromov双曲空间是一个在宏观（粗）中具有负横截面曲率的空间，并且在几何组理论和动态系统中进行了很好的研究。 Gromov双曲空间包含不是Riemann-Manifolds的Finsler歧管，但是我们通过利用了这一事实，成功地研究了梯度流，即它们与树木相近，这些事实清楚地表明了凸功能的梯度流的行为，并成功地提供了对收缩的定量评估。此外，还通过将其与CAT（0）空间（曲率低于0的距离空间进行比较）来揭示概率度量的重心。此外，我们还对凸函数的梯度流动的梯度流在距离函数不对称的距离空间上进行了联合研究。研究人员尤科塔（Yokota）对称为金字塔的几何形状进行了研究，其中包括措施和措施和措施的同构。特别是，我们与苏古川先生（京都大学）进行了一项联合研究，涉及金字塔的预熟子集。我们还定义了两个金字塔的乘积，并研究了收敛金字塔序列乘积的收敛性。研究共享者高祖继续解决缓解最佳运输距离的问题，并进行了一个联合研究项目，在该项目中，使用凸面功能放松了无法使用梯度流量解决的有限套件上的最佳传输问题，并应用了梯度流量方法。我们尤其是Bregman Divegence作为凸功能，并研究了缓解最佳运输问题的特性。此外，协作研究加深了对切片的Waserstein距离的考虑，这是最佳运输问题的亚种。