距離空間上の調和関数の研究

度量空间上调和函数的研究

基本信息

批准号：
16740034
负责人：
太田慎一
金额：
$ 2.3万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2004
资助国家：
日本
起止时间：
2004 至 2006
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は主に,リーマン多様体におけるリッチ曲率の下限に相当する条件の,一般の測度距離空間での定式化を研究した.これは10年以上にわたって重要な問題として考えられてきたものであり,現在も活発に研究されている断面曲率を下から押さえた空間(アレクサンドロフ空間)を更に一般化した対象であると共に,Cheeger-Coldingらによるリッチ曲率を下から押さえた多様体の列の収束・崩壊理論に適切な枠組みを与えるものと期待される.具体的に得られた結果としては,Sturm及びLott-Villaniによって最近与えられたCurvature-Dimension条件よりも弱い,Measure Contraction Property(MCP)という条件を導入した.(Sturmも独立に同様の条件を導入している.)これはリーマン多様体の場合にはリッチ曲率の下限と同値であり,またリッチ曲率を下から押さえたリーマン多様体で知られている種々の性質(Bishop-Gromovの体積比較定理,Bonnet-Myersの定理など)がMCPを満たす測度距離空間に拡張される.また,アレクサンドロフ空間はMCPを満たす.更に,特に重要な結果として,MCPは測度距離空間の列の測度付Gromov-Hausdorff収束の下で保存され,これとGromovのプレコンパクト性定理を合わせると,MCPを満たす測度距離空間の族は測度付Gromov-Hausdorff位相でコンパクトであることがわかる.

今年，我们主要研究了一般测度度量空间中黎曼流形上的里奇曲率下界对应的条件的表述。十多年来这一直被认为是一个重要问题，它是一个目标。进一步概括了目前正在积极研究的从下方抑制横截面曲率的空间（亚历山德罗夫空间）。，预计将为由 Cheeger-Colding 等人提出的从下方抑制 Ricci 曲率的流形序列的收敛/塌缩理论提供一个适当的框架，该框架比最近给出的曲率维数条件更弱。收缩我们引入了一个称为属性（MCP）的条件。（Sturm 也独立引入了类似的条件。）在黎曼流形的情况下，这相当于 Ricci 曲率的下界，并且还从下面抑制了 Ricci 曲率的各种已知属性。黎曼流形（Bishop-Gromov 体积比较定理、Bonnet-Myers 定理等）满足 MCP。而且，Alexandrov空间满足MCP。此外，一个特别重要的结果是，在以测度度量空间序列为测度的Gromov-Hausdorff收敛下，MCP是守恒的，这和Gromov预紧性定理结合，我们发现：满足 MCP 的测度度量空间族在具有测度的 Gromov-Hausdorff 拓扑中是紧的。