Analytic research on branching law of infinite-dimensional representations associated with symmetric R spaces

对称R空间无限维表示分支规律的解析研究

基本信息

批准号：
20J00114
负责人：
中濱良祐
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-24 至 2023-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

私はこの数年間で，リー群Gとその部分群G_1の組(G,G_1)が正則型対称対の場合に，Gの正則離散系列表現HからG_1の正則離散系列表現H_1へのG_1-絡作用素 (対称性破れ作用素) F:H→H_1を，Gが単純リー群，Hがスカラー型，H_1も (スカラー型を含む) 比較的簡単な表現の場合に，微分作用素として具体的に構成した．またその過程で，(G,G_1)の付随対称対(G,G_2)に対し，エルミート対称空間G_2/K_2上の比較的簡単な多項式f(x_2)について，多項式det(x_2)^kf(x_2)とG/K上の指数関数e^(x|z)との，G/K上での内積を具体的に計算した．特にf(x_2)=1の場合 (H_1がスカラー型の場合に相当) には，この結果がHeckman-OpdamのBC型多変数超幾何多項式を用いて与えられることを示した．また今年度はさらに，引き続きGを単純リー群，Hをスカラー型とするが，H_1は一般の表現とした場合に，絡作用素の具体的構成はできていないものの，その適切な正規化の下での作用素ノルムを計算することができ，特に(G,G_1)の分岐則におけるParseval-Plancherel型公式を求めることができた．さらにこの内積を具体的に計算したことにより，正則離散系列表現H=H(λ)の連続パラメータλに関する解析接続を考えると，そのλに関する極の位置を具体的に決定できる．ここから，正則離散系列表現H(λ)を解析接続してできる表現が可約となる場合にも，これを部分群G_1に制限した際の分岐則に関する情報を得ることができた．昨年度までは比較的簡単なH_1，今年度は一般のH_1に対してこの計算を行った．またこれらの計算の結果，既知の多変数超幾何多項式，およびそれを自然に一般化した関数が現れたことから，この研究は多変数特殊関数論にも影響を与えると期待している．

在过去的几年里，我一直在研究李群G及其子群G_1的集合(G，G_1)是全纯对称对的情况，缠绕算子（对称破缺算子）F:H→H_1，G是。一个简单的李群，H是标量类型，H_1也是（包括标量类型）对于相对简单的表达式，它被专门构造为微分运算符。在此过程中，对于(G,G_1)的附带对称对(G,G_2)，对于埃尔米特对称空间G_2/K_2上相对简单的多项式f(x_2)，多项式det(x_2)^kf(x_2 )以及G/K上的指数函数e^(x|z)，我们专门计算了G/K上的内积。特别地，我们证明了当 f(x_2)=1 时（对应于 H_1 为标量类型的情况），可以使用 Heckman-Opdam BC 型多元超几何多项式给出该结果。另外，今年，我们将继续使用G作为简单李群，H作为标量类型，但是当H_1表示为一般表达式时，虽然缠绕算子的具体构造尚未完成，但它将我们能够计算的算子范数，特别是，我们能够找到 (G,G_1) 分叉规则的 Parseval-Plancherel 类型公式。此外，通过具体计算该内积，通过考虑正则离散序列表示 H=H(λ) 对于连续参数 λ 的解析延拓，我们可以具体确定极点相对于 λ 的位置。由此，即使解析级联形成的表示是可约的，当将规则离散序列表示 H(λ) 限制为子组 G_1 时，我们也能够获得有关分叉规则的信息。直到去年我们都是针对比较简单的H_1进行这样的计算，今年我们是针对一般的H_1进行这样的计算。此外，由于这些计算，已知的多元超几何多项式和它们的自然推广函数已经出现，因此我们预计这项研究也将对多元特殊函数的理论产生影响。