Asymptotic analysis of nonlinear dispersive equations with critical nonlinearities

具有临界非线性的非线性色散方程的渐近分析

基本信息

批准号：
20K03680
负责人：
林仲夫
金额：
$ 2.5万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

非線形熱方程式を非線形境界条件下で研究し、解の漸近的振る舞い及び解の有限時間爆発について明らかにした。分数冪非線形シュレディンガー方程式の初期値問題の研究を分数冪が3/2と2の間にあるとき行い、修正散乱現象が起こることを示した。この事実は3次の非線形項が臨界冪であることを示している。分数冪非線形シュレディンガー方程式の初期値問題の研究を分数冪が2と5/2の間にあり非線形項が反発項として働くときの研究を行い、解の漸近的振る舞いが通常の非線形シュレディンガー方程式の解の振る舞いと異なることを示した。上述の結果と合わせると分数冪の階数が2を一つの臨界値となっていることを示している。２次の非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の周期問題を研究し、初期値が周期条件を満たし小さいとき、解の時間減衰評価を明確にした。分数冪 modified Korteweg-de Vries方程式の解の振る舞いについて、分数冪の階数が2と4にあるとき研究を行い、初期条件が零質量条件を満たし小さいとき、解の漸近公式を示した。階数が3のときが古典的なmodified Korteweg-de Vries方程式と呼ばれるものである。Hartree typeの非線形項を持つ非局所シュレディンガー方程式の初期値問題の研究を一次元空間で行い、従来の研究で用いられた発展作用素の因数分解公式が、修正を加えることによりより一般の問題に対しても援用できることを示した。一次元シュレディンガー方程式の非線形 Neumann境界値問題の研究の研究を行い、冪乗型非線形項の階数が2を超えるとき、スケール不変な空間において時間大域解の存在を示した。また階数が1と2の間にあるとき小さい解が有限時間爆発することを示した。この事実は２次の非線形項が臨界指数であることを示している。

研究了非线性边界条件下的非线性热方程，阐明了解的渐近行为和有限时间爆炸。研究了分数幂非线性薛定谔方程在分数幂在3/2到2之间时的初值问题，发现会发生修正散射现象。这一事实表明三阶非线性项是一个临界功率。研究了分数幂非线性薛定谔方程的初值问题，当分数幂在2到5/2之间且非线性项作为排斥项时，表现出与结合上述结果可知，分数幂的阶数以2为临界值。研究了含二阶非线性项的非线性薛定谔方程的周期问题，明确了初始值满足周期条件且较小时解的时间衰减评估。我们研究了分数幂修正的 Korteweg-de Vries 方程的解在分数阶为 2 和 4 阶时的行为，并给出了当初始条件较小且满足零质量条件时该解的渐近公式。当秩为3时，称为经典修正Korteweg-de Vries方程。我们研究了一维空间中带有Hartree型非线性项的非局部薛定谔方程的初值问题，发现可以修改先前研究中使用的演化算子的因式分解公式来解决更一般的问题。即使研究了一维薛定谔方程的非线性诺伊曼边值问题，并证明当幂律非线性项的秩超过 2 时，尺度不变空间中存在时间全局解。我们还表明，当等级在 1 到 2 之间时，小解会在有限时间内爆炸。这一事实表明二阶非线性项是一个临界指数。