Nilpotent study of 3-dimensional topology

3 维拓扑的幂零研究

• 批准号: 20K03605
• 负责人: 野坂 武史
• 金额: $ 2万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03605/
• 关键词: ３次元多様体; Chern-Simons理論; 有限群のコホモロジー; トポロジー; 結び目; べき零群; 被覆空間; 3次元多様体; Alexander多項式; 幾何学

3次元トポロジーのべき零的な研究を進めている。但し２年度目で一定の成果を得たため、３年度では計画書と少々ずれるが派生的な研究を行い、３つの結果を得た。プレプリントとして以下の様にまとめた。(1) 閉３次元多様体のChern-Simons不変量に関してである。その不変量は一つのSL(2;C)表現が与えられた毎に定義出来るが、多くの既存の研究は一つであるホロノミー表現のみに注目される研究が多く、双曲幾何との関連性が論じられた。対して、筆者はすべてのSL(2;C)表現を考え、その不変量の和に関して予想を立てた。本論文で一定の多様体のクラスに対し予想が正しい事を証明する事が出来た。また境界つきの多様体の場合でも類似した議論を展開し、２橋結び目に対し結果を得た。(2) Dehn手術を通して、閉3次元多様体の不変量を古典的な設定から構成した。正確には対称カンドルの視点による対称コサイクル不変量という絡み目不変量が、よい条件のもとで、閉3次元多様体の不変量を与える事を示した。例えば任意の有限群に対して具体的に不変量が構成でき、簡単な群では不変量が計算できる事を例示した。(3) Dijkgraaf-Witten不変量とは、有限群の群３コサイクルから構成される位相不変量である。そこで本論文ではその３コサイクルが複素表現の２次Chern類から自然に由来する場合を考えた。その際にRiemann-Rochの定理を用いる事で、当不変量の12倍はある有限被覆空間のカップ積構造らでほぼほぼ計算できることを示した。またその12倍が現れる本質的な原因を解明した。そして幾つかの具体的な有限群に対して、トランファーの理論を用いる事で計算方針を示すことができた。

我们目前正在对三维拓扑的功能进行研究。但是，正如我们在2017财年获得的某些结果一样，在第3财年，我们进行了衍生研究，尽管与计划略有不同，并获得了三个结果。预印象总结如下：（1）关于封闭的三维流形的Chern-Simons不变。可以为每个给定的SL（2; c）表达定义不变性，但是许多现有研究仅着眼于一种自动表达，并且已经讨论了与双曲几何形状的关系。相比之下，作者考虑了所有SL（2; c）表达式，并就其不变的总和做出了预测。本文证明，对于某些类别的流形，预测是正确的。对于有限的歧管，也有类似的论点，并获得了两桥结的结果。 （2）通过Dehn手术，通过经典环境构建了封闭的3D歧管的不变性。确切地说，已经表明，从对称坎德尔的角度来看，可互换不变的，对称的共生不变性，在良好条件下给出了封闭的三维歧管的不变性。例如，可以为任何有限组专门配置一个不变式，并且可以在简单的组中计算不变。 （3）Dijkgraaf-witten不变式是一个相位不变的，由有限组的三个共生组成。因此，在本文中，我们考虑了这三个共生自然来自复杂表达的二次chern的情况。通过使用Riemann-Roch定理，我们表明可以在某个有限的涂层空间中使用杯子产品结构来大致计算不变的12倍。我们还阐明了12倍的基本原因。然后，可以使用转移理论来显示几个特定有限组的计算策略。

项目成果

Cellular Chain Complexes of Universal Covers of Some 3-Manifolds

一些3流形通用覆盖的细胞链络合物

• 发表时间: 2022
• 期刊: J. Math. Sci. Univ. Tokyo
• 作者: Takefumi Nosaka

ポアンカレ双対群の Fox ペアリング

庞加莱对偶群的福克斯配对

• 发表时间: 2022
• 作者: A. Beliakova;K. Hikami;Tanaka Kohei;山下靖;Masamicihi Takase;Koichi Nagano;Hatsuda Machiko，Mori Haruka，Sasaki Shin，Yata Masaya;秋田利之;野坂 武史
• 通讯作者: 野坂 武史

SL2(R)-Casson 不変量とライデマイスタートーション

SL2(R)-Casson 不变量和 Reidemeister 挠率

• 发表时间: 2020
• 作者: Intawong Kamolphat;Ito Noboru;藤博之;Ryokichi Tanaka;Koichi Nagano;馬場伸平;村上斉;野坂 武史
• 通讯作者: 野坂 武史

べき零的結び目不変量と写像類群のジョンソン準同型

地图类群的零幂结不变量和约翰逊同态

• 发表时间: 2022
• 作者: Koichi Nagano;Takashi Shioya;and Takao Yamaguchi;Tanaka Kohei;野坂 武史
• 通讯作者: 野坂 武史

幾つかの3 次元多様体の普遍被覆空間のセル複体

某些三维流形的通用覆盖空间的元胞复合体

• 发表时间: 2020
• 作者: Kajigaya Toru;Tanaka Ryokichi;樋上和弘;橋永貴弘;山下靖;野坂 武史;橋永貴弘;Koichi Nagano;野坂 武史
• 通讯作者: 野坂 武史