シュレディンガー型方程式の解の各点収束性とフラクタル幾何

薛定谔方程解的逐点收敛和分形几何

• 批准号: 20J11851
• 负责人: 白木 尚武
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Saitama University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-24 至 2022-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20J11851/
• 关键词: 各点収束問題; フラクタル次元; Schrodinger方程式; トモグラフィー; k平面変換; 制限作用素; 超縮小性不等式; 拡散流法; Klein--Gordon方程式; Strichartz評価; 最良定数; 零形式

本年度はChu-Hee Cho氏との共同研究であるSchrodinger方程式の解に対する曲線に沿った各点収束問題に対して得た結果をまとめ，Annales Fennici Mathematiciより発表した．対照的に線群を経路とする各点収束問題においては，必要条件の解析は非常に難しくこれまで全く結果がなかった. 今回Cantorタイプの集合を用いてKnappの手法を修正することで，各点収束問題に直接関連する極大不等式に対して一部の必要条件を得ることに成功した．高次元へ自然な拡張も存在し1,2次元上で期待されていた結果を得た．また本年度は若手研究者海外挑戦プログラムの一環として英国バーミンガム大学のJonathan Bennett教授と共同研究する機会を得た．各点収束問題における発散集合とトモグラフィー理論の応用の研究過程で，Schrodinger作用素を含む一般の制限作用素に対してk平面変換（k-plane transform）を介した興味深い等式を見出した．特にこれは先行研究であるBennett--NakamuraおよびBennett--Iliopoulouの結果を統一的に扱う基本的な等式であり，制限予想や各点収束問題など多くの研究で応用が期待できる．実際振動拡張されたBrascamp--Lieb不等式のある予想に対して，1次元多様体に対する結果が応用でき（強く）端点評価を導くことができる．また量子力学の重要な不等式である超縮小性不等式に対する一般化に対する進展もあった．以前Aoki et. al. にて確立した拡散流法を用いた議論をさらに抽象化し，針谷氏による不等式の統一化に関する別証明および新しい観点を見出した．

今年，我们总结了与 Cho-Hee Cho 先生共同研究的薛定谔方程求解曲线上各点收敛问题的结果，并在《Annales Fennici Mathematici》上发表。相比之下，在路径为一组直线的点收敛问题中，必要条件的分析极其困难，至今尚未获得结果。通过使用康托型集修改Knapp方法，我们成功获得与点收敛问题直接相关的最大不等式的一些必要条件。也有向更高维度的自然延伸，我们在 1 维和 2 维中获得了预期的结果。此外，今年，作为青年研究员海外挑战计划的一部分，我有机会与英国伯明翰大学的乔纳森·贝内特教授进行联合研究。在研究发散集和层析成像理论在点对点收敛问题中的应用过程中，我通过 k 平面变换发现了一个有趣的方程，适用于包括薛定谔算子在内的一般极限算子。特别是，这是一个统一处理Bennett-Nakamura和Bennett-Iliopoulou先前研究结果的基本方程，有望应用于极限预测和点对点收敛问题等许多研究。事实上，对于振子扩展 Brascamp-Lieb 不等式的某些猜想，一维流形的结果可以（强烈）应用于导出端点评估。在推广超还原性不等式方面也取得了进展，这是量子力学中的一个重要不等式。我们使用 Aoki 等人建立的扩散流方法进一步抽象了这个论点。

项目成果

A supersolutions perspective on hypercontractivity

超收缩性的超解视角

• DOI: 10.1007/s10231-020-00958-7
• 发表时间: 2020
• 期刊: Ann. Mat. Pura Appl. (4)
• 作者: Y. Aoki;J. Bennett; N. Bez;S. Machihara;K. Matsuura and S. Shiraki
• 通讯作者: K. Matsuura and S. Shiraki

A NOTE ON VARIATIONS OF THE MAXIMAL INEQUALITY FOR THE FRACTIONAL SCHRODINGER EQUATION

分数阶薛定谔方程最大不等式变化的注记

• 发表时间: 2022
• 期刊: RIMS Kokyuroku
• 作者: Chu-Hee Cho;Shobu Shiraki
• 通讯作者: Shobu Shiraki

University of Birmingham(英国)

伯明翰大学（英国）

Some variations of the pointwise convergence problem for the fractional Schrodinger equation

分数阶薛定谔方程逐点收敛问题的一些变体

• 发表时间: 2021
• 作者: Hideo Doi;Tomoko Horio;Yong-Joon Choi;Kazuhiro Takahashi;Toshihiko Noda and Kazuaki Sawada;白木尚武
• 通讯作者: 白木尚武

接曲線に沿う分数階Schrodinger方程式の解の各点収束性と発散集合

分数阶薛定谔方程沿正切曲线的逐点收敛发散解集

• 发表时间: 2020
• 作者: Yoshihiko Abe;Takashi Toma;Koji Tsumura;and Naoki Yamatsu;川上千夏，Shirlyn Eng Shu Ying，堀尾智子，土井英生，崔容俊，高橋一浩，野田俊彦，澤田和明;柳沢直也,栗田玲;Shou Yoshikawa;林 愼将;白木尚武
• 通讯作者: 白木尚武