シュレディンガー型方程式の解の各点収束性とフラクタル幾何

薛定谔方程解的逐点收敛和分形几何

• 批准号: 20J11851
• 负责人: 白木 尚武
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Saitama University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-24 至 2022-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20J11851/
• 关键词: 各点収束問題; フラクタル次元; Schrodinger方程式; トモグラフィー; k平面変換; 制限作用素; 超縮小性不等式; 拡散流法; Klein--Gordon方程式; Strichartz評価; 最良定数; 零形式

本年度はChu-Hee Cho氏との共同研究であるSchrodinger方程式の解に対する曲線に沿った各点収束問題に対して得た結果をまとめ，Annales Fennici Mathematiciより発表した．対照的に線群を経路とする各点収束問題においては，必要条件の解析は非常に難しくこれまで全く結果がなかった. 今回Cantorタイプの集合を用いてKnappの手法を修正することで，各点収束問題に直接関連する極大不等式に対して一部の必要条件を得ることに成功した．高次元へ自然な拡張も存在し1,2次元上で期待されていた結果を得た．また本年度は若手研究者海外挑戦プログラムの一環として英国バーミンガム大学のJonathan Bennett教授と共同研究する機会を得た．各点収束問題における発散集合とトモグラフィー理論の応用の研究過程で，Schrodinger作用素を含む一般の制限作用素に対してk平面変換（k-plane transform）を介した興味深い等式を見出した．特にこれは先行研究であるBennett--NakamuraおよびBennett--Iliopoulouの結果を統一的に扱う基本的な等式であり，制限予想や各点収束問題など多くの研究で応用が期待できる．実際振動拡張されたBrascamp--Lieb不等式のある予想に対して，1次元多様体に対する結果が応用でき（強く）端点評価を導くことができる．また量子力学の重要な不等式である超縮小性不等式に対する一般化に対する進展もあった．以前Aoki et. al. にて確立した拡散流法を用いた議論をさらに抽象化し，針谷氏による不等式の統一化に関する別証明および新しい観点を見出した．

今年，我们沿着曲线沿曲线进行了针对Schrodinger方程的解决方案获得的每个点收敛问题，这是与Chu-Hee Cho的联合研究，并由Annales Fennici Mathematici提出。相比之下，对于以行组为路径的每个点收敛问题，对需求的分析非常困难，到目前为止还没有结果。通过使用一组Cantor类型修改Knapp的方法，我们成功获得了与每个点收敛问题直接相关的最大不平等现象的一些先决条件。较高的维度也有自然的扩展，我们在1和2d中实现了预期的结果。今年，我也有机会与英国伯明翰大学的乔纳森·贝内特教授合作，作为对年轻研究人员的海外挑战计划的一部分。在对每个点收敛问题中断层理论的分歧集和应用的研究中，我们通过K平面变换找到了一个有趣的方程式，用于一般限制运算符，包括Schrodinger操作员。特别是，这是一个基本方程式，统一涉及先前研究的结果Bennett-Nakamura和Bennett-Iliopoulou，并且可以预计将应用于许多研究项目，例如极限预测和每个点的收敛问题。实际上，对于振荡Brascamp- lieb不平等的某些预测，可以（强烈）得出的终点评估应用一维流形的结果。超级还原不平等的概括也有进展，这是量子力学中重要的不平等现象。我们使用先前在Aoki等人中建立的扩散流方法进一步提取了讨论，并找到了Hariya统一不平等现象的另一个证据和新观点。

项目成果

A supersolutions perspective on hypercontractivity

超收缩性的超解视角

• DOI: 10.1007/s10231-020-00958-7
• 发表时间: 2020
• 期刊: Ann. Mat. Pura Appl. (4)
• 作者: Y. Aoki;J. Bennett; N. Bez;S. Machihara;K. Matsuura and S. Shiraki
• 通讯作者: K. Matsuura and S. Shiraki

A NOTE ON VARIATIONS OF THE MAXIMAL INEQUALITY FOR THE FRACTIONAL SCHRODINGER EQUATION

分数阶薛定谔方程最大不等式变化的注记

• 发表时间: 2022
• 期刊: RIMS Kokyuroku
• 作者: Chu-Hee Cho;Shobu Shiraki
• 通讯作者: Shobu Shiraki

University of Birmingham(英国)

伯明翰大学（英国）

Some variations of the pointwise convergence problem for the fractional Schrodinger equation

分数阶薛定谔方程逐点收敛问题的一些变体

• 发表时间: 2021
• 作者: Hideo Doi;Tomoko Horio;Yong-Joon Choi;Kazuhiro Takahashi;Toshihiko Noda and Kazuaki Sawada;白木尚武
• 通讯作者: 白木尚武

接曲線に沿う分数階Schrodinger方程式の解の各点収束性と発散集合

分数阶薛定谔方程沿正切曲线的逐点收敛发散解集

• 发表时间: 2020
• 作者: Yoshihiko Abe;Takashi Toma;Koji Tsumura;and Naoki Yamatsu;川上千夏，Shirlyn Eng Shu Ying，堀尾智子，土井英生，崔容俊，高橋一浩，野田俊彦，澤田和明;柳沢直也,栗田玲;Shou Yoshikawa;林 愼将;白木尚武
• 通讯作者: 白木尚武