Diophantine approximation, related problems, and applications to the existence or non-existence of arithmetic progressions

丢番图近似、相关问题以及算术级数存在或不存在的应用

• 批准号: 22KJ0375
• 负责人: 齋藤 耕太
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: University of Tsukuba
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ0375/
• 关键词: 不定方程式; ピアテツキーシャピロ列; フラクタル次元; 等差数列; 素数表現関数; 代数的独立性

異なる2頂点を結んだ線分の長さが全て整数となるような直方体をオイラーの完全直方体と呼ぶ。オイラーの完全直方体の存在は未だに明らかになっていない。本研究では名古屋大学の金堂優哉氏と共同研究を行いオイラーの完全直方体の類似物を考えた。ここではその類似物を擬似完全直方体と呼ぶこととしよう。結果として、ディオファントス近似の方法を応用させ、擬似完全直方体が無限個存在することを明らかにした。さらに、擬似完全直方体の個数に関する予想からオイラーの完全直方体の非存在性を導けることを明らかにした。この研究ではフラクタル次元や等差数列の研究で得たテクニックやコンピューターを活用し結果を得ることができた。結果は論文にまとめ数論系の雑誌Acta Arithmeticaに投稿し、受理・公開された。研究発表も精力的に行った。今年度は更に素数表現定数についての代数的独立性の論文について、Mathematikaに受理・公開された。ここで、素数表現定数とは常に素数を返すような二重指数型の関数の底のことをいう。この研究は東京理科大学の武田渉氏との共同研究である。今年度はこの研究に関する研究発表も行い、新しい課題も発見できた。現在、その課題にも取り組んでいる。今年度はメインの課題であるピアテツキーシャピロ列上の不定方程式に関する解の有限性について新しい結果も得ることができた。論文は現在準備中であるが、いくつかの研究集会で発表した。来年度は論文で報告できる形まで完成させたい。

连接两个不同顶点的线段长度均为整数的长方体称为欧拉完美长方体。欧拉完美长方体是否存在仍不清楚。在这项研究中，我们与名古屋大学的 Yuya Kondo 先生进行了联合研究，并考虑了欧拉完美长方体的类比。在这里，我们将类似物称为伪完美长方体。结果，通过应用丢番图近似的方法，揭示了存在无限多个准完美长方体。此外，我们还证明了欧拉完美长方体的不存在性可以从伪完美长方体数量的猜想中推导出来。在这项研究中，我们能够使用从分形维数和算术级数研究中学到的技术和计算机来获得结果。结果总结成论文提交给数论期刊Acta Arithmetica，该期刊被接受并发表。他还积极地介绍了他的研究成果。今年，一篇关于素数表示常数的代数独立性的论文也被Mathematika接受并发表。这里，素数表达式常量是指始终返回素数的双指数函数的基数。这项研究是与东京理科大学的Wataru Takeda先生共同研究的。今年我们也提出了与这项研究相关的研究，并发现了新的问题。我们目前正在研究这个问题。今年，我们获得了关于 Piatetsky-Shapiro 序列不定方程解的有限性的新结果，这是我们的主要课题。该论文目前正在准备中，并已在多次研究会议上发表。明年，我想完成这个项目，直到我可以在论文中报告它。

项目成果

Finiteness of solutions of Diophantine equations on Piatetski-Shapiro sequences

Piatetski-Shapiro 序列上丢番图方程解的有限性

• 发表时间: 2023
• 作者: Saito Kota;Takeda Wataru;Kota Saito;齋藤 耕太;Kota Saito
• 通讯作者: Kota Saito

Piatetski-Shapiro列における不定方程式の解の有限性について

关于Piatetski-Shapiro序列中不定方程解的有限性

• 发表时间: 2023
• 作者: Saito Kota;Takeda Wataru;Kota Saito;齋藤 耕太
• 通讯作者: 齋藤 耕太

TRANSCENDENCE OF THE MINIMUM OF PRIME-REPRESENTING CONSTANTS

素数代表常数极小值的超越

• 发表时间: 2022
• 期刊: 数理解析研究所講究録
• 作者: Saito Kota;Takeda Wataru;Kota Saito
• 通讯作者: Kota Saito

Topological properties and algebraic independence of sets of prime‐representing constants

素数表示常数集的拓扑性质和代数独立性

• DOI: 10.1112/mtk.12142
• 发表时间: 2022
• 期刊: Mathematika
• 影响因子: 0.8
• 作者: Saito Kota;Takeda Wataru
• 通讯作者: Takeda Wataru

A system of certain linear Diophantine equations on analogs of squares

平方类似物上的某些线性丢番图方程组

• DOI: 10.4064/aa220622-19-1
• 发表时间: 2023
• 期刊: Acta Arithmetica
• 影响因子: 0.7
• 作者: Kanado Yuya;Saito Kota
• 通讯作者: Saito Kota