特異・退化な重みをもつ放物型偏微分方程式の漸近挙動解析と定性的解析

具有奇异和简并权重的抛物型偏微分方程的渐近行为分析和定性分析

• 批准号: 20J10379
• 负责人: 立石 優二郎
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-24 至 2022-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20J10379/
• 关键词: 放物型偏微分方程式; 漸近挙動解析; シュレーディンガー熱半群

本研究では特異性あるいは退化性のある重み関数を係数にもつ放物型偏微分方程式に対して，解の時刻無限大での漸近挙動を考察した．またそれに伴い，解の正則性等の定性的解析やHarnack不等式や熱核評価等の定量的解析を導出することを目的とした．加えて，重み付き熱方程式はポテンシャル項を持つ熱方程式の変換によっても得られるため，シュレーディンガー熱半群に対する解析も考察している．本年度の研究実施計画では，一般の重み関数に対して放物型偏微分方程式の漸近挙動解析を行うこと及び前年度からの計画修正として重み付きソボレフ空間のコンパクト埋め込みに関する先行研究の整理と拡張検討を予定していた．結果，本研究で扱う予定であった重み関数のクラスでの重み付きソボレフ空間のコンパクト埋め込みの結果は十分に得られておらず，現時点では多項式冪の重み関数の場合のみ漸近挙動を導出できている．一方でポテンシャル項を持つ熱方程式の解評価は結果を得られた．具体的には，逆二次ポテンシャルを持つシュレーディンガー熱半群に対して導関数のローレンツ空間での最適減衰評価を導出し，対応するシュレーディンガー作用素の調和関数の挙動を用いて特徴付けを行った．これは先行研究の拡張であるとともに，シュレーディンガー熱半群及びその導関数の挙動がシュレーディンガー作用素の正値調和関数のみならず他の調和関数の挙動によって決定される様子を表した結果となっている．

在这项研究中，我们检查了抛物线偏微分方程的溶液在具有奇异或退化重量功能系数的抛物线偏微分方程时的渐近行为。此外，目的是对解决方案的规律性进行定性分析，以及诸如Harnack的不平等和热核评估等定量分析。另外，由于也可以通过用潜在项转换热热方程来获得加权热方程，因此我们还考虑对Schrodinger热半群的分析。计划制定了今年的研究实施计划，以分析抛物线​​偏微分方程的渐近行为，以分析一般体重功能，并组织和扩展先前关于加权Sobolev空间紧凑型嵌入的研究，以作为上一年的计划修订。结果，计划在本研究中解决的重量函数类中的紧凑型Sobolev空间的嵌入结果尚未得到充分获得，目前，仅针对多项式权重函数才能得出渐近行为。另一方面，获得了具有潜在项的热方程的解决方案评估。具体而言，针对具有逆二次势的Schrodinger热半群，得出了Lorentz空间中衍生物的最佳阻尼评估，并使用相应的Schrodinger操作员的谐波函数的行为进行了特性。这是先前研究的延伸，并显示了Schrodinger热半群及其衍生物的行为不仅是由Schrodinger操作员的正谐波功能决定的，还取决于其他谐波功能的行为。

项目成果

重み付き放物型方程式の解の漸近挙動

加权抛物型方程解的渐近行为

• 发表时间: 2020
• 作者: Kotaro Takehana;Muhammad Husein Rahman;Ken Okazaki and Tomohiro Nozaki;吉富佑樹，平井陽大，樋下真路，片岡寛子，高田正幸;立石 優二郎
• 通讯作者: 立石 優二郎

Decay estimates for Schr\"odinger heat semigroup with inverse square potential in Lorentz spaces II

洛伦兹空间 II 中平方反势势薛定谔热半群的衰变估计

• DOI: 10.3934/dcds.2021121
• 发表时间: 2022
• 期刊: Discrete and Continuous Dynamical Systems
• 影响因子: 1.1
• 作者: Giga Yoshikazu;Mitake Hiroyoshi;Sato Shoichi;出口正之;Kazuhiro Ishige and Yujiro Tateishi
• 通讯作者: Kazuhiro Ishige and Yujiro Tateishi

Decay estimates for Schr\"odinger heat semigroup with inverse square potential in Lorentz spaces

洛伦兹空间中平方反势势薛定格热半群的衰变估计

• DOI: 10.1007/s00028-022-00772-z
• 发表时间: 2022
• 期刊: Journal of Evolution Equations
• 影响因子: 1.4
• 作者: Yamori;K.;Kazuhiro Ishige and Yujiro Tateishi
• 通讯作者: Kazuhiro Ishige and Yujiro Tateishi