観測ノイズ付き確率微分方程式の局所漸近正規性・漸近有効推定量

具有观测噪声的随机微分方程的局部渐近正态性和渐近有效估计量

基本信息

批准号：
20J10058
负责人：
仲北祥悟
金额：
$ 1.09万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-24 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20J10058/
关键词：
確率過程の統計学確率微分方程式拡散過程統計的漸近理論

项目摘要

研究計画において、令和2年度は(i)現象モデルとしての確率微分方程式の解である拡散過程が離散時間上で加法的ノイズの影響下で観測される時のノイズの分散パラメータ、確率微分方程式の拡散係数のパラメータ、及びドリフト係数のパラメータについての局所漸近正規性、(ii)拡散過程が離散時間上で時間積分によって平滑化され観測された場合の推定量・検定統計量の考案並びにその漸近的挙動、の2点について調べるものとした。(i)の局所漸近正規性について、最もシンプルなモデルとして、1次元定常Ornstein-Uhlenbeck過程に平均0かつ正の分散を持つ正規分布に独立同分布で従うノイズが加法的かつ拡散過程とは独立に離散時間上での観測に加わるという設定の下で証明を試みたが、結果として完成には至らなかった。この単純な設定にあっても局所漸近正規性の証明においても特に分散共分散行列について複雑な計算を要し、証明は完了しなかった。最もシンプルなモデルを考えその収束レートや収束先の分布について見通しを良くするというアイデアが機能しなかったため一般の状況についての証明もまた困難が予想される。(ii)の時間積分観測下での推定量・検定統計量の考案と漸近的挙動については以下の成果が得られた。まず離散時間上での時間積分された観測の下で、潜在過程である拡散過程を解に持つ確率微分方程式の拡散係数並びにドリフト係数のパラメータに対する一致推定量を構成した。また推定量に加えて、観測が実際に時間積分されているかどうかを検定するための統計量を構成し、時間積分されていないとする帰無仮説の下での漸近正規性、及び正の時間幅で積分されているとする対立仮説の下での発散を証明した。この統計量を用いることで一致性のある漸近的検定が可能となっており、実際にある脳波データについては非常に低い有意水準であっても対立仮説を採択する結果を得た。

在2020年的研究计划中，我们将重点研究（i）在离散时间的加性噪声影响下观察扩散过程（作为现象模型的随机微分方程的解）时的噪声分散参数；扩散系数参数，以及（ii）当观察到通过离散时间的时间积分平滑扩散过程时，设计估计量并测试统计量及其渐近行为；我们决定进行研究。关于 (i) 中的局部渐近正态性，最简单的模型是一维平稳 Ornstein-Uhlenbeck 过程，其中遵循均值 0 和正方差的正态分布的噪声是可加的并且与扩散过程无关。这是通过添加离散时间的观察结果来实现的，但结果并未完成。即使有了这个简单的设置，局部渐近正态性的证明也需要复杂的计算，特别是对于方差-协方差矩阵，并且证明没有完成。考虑最简单的模型并很好地了解其收敛速度和收敛目的地分布的想法行不通，因此在一般情况下证明它也预计会很困难。在（ii）中，关于估计量和检验统计量的设计以及时间积分观察下的渐近行为获得了以下结果。首先，基于离散时间的时间积分观测，我们构建了随机微分方程的扩散系数和漂移系数参数的匹配估计器，该方程的解是扩散过程，这是一个潜在过程。除了估计量之外，它还构成了一个统计量来检验观测值是否实际上是时间积分的，零假设下的渐近正态性，即它不是时间积分的，以及正时间我们在备择假设下证明了散度，即它是集成在宽度上。利用该统计量，可以进行具有一致性的渐近检验，对于实际的脑波数据，即使在显着性水平非常低的情况下，也得到了采用备择假设的结果。