ディフェオロジカル de Rham 理論の創発研究

二神论德拉姆理论的新兴研究

基本信息

批准号：
20K20424
负责人：
栗林勝彦
金额：
$ 7.24万
依托单位：
Shinshu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Pioneering)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

一般的な圏がQuillenのモデル圏構造を持つ場合，その圏上でホモトピー論が展開できるという恩恵がある。すなわち圏の対象に対してホモトピー不変量から分類問題を考察することが可能になる。また，Quillen, Sullivanの有理ホモトピー論は，位相空間の圏が持つモデル圏構造と次数つき微分代数が持つモデル圏構造との間の適切な随伴関手が，そのホモトピー圏の部分圏同士の間に圏同値を誘導するということを主張している。これから単連結空間を含むべき零空間のホモトピー論的分類は，完全に微分代数のそれに帰着する。Diff(ディフェオロジカル空間の圏)においてもこうした有理ホモトピー論を展開できる枠組みを構築することで，ディフェオロジカル空間(以下 diff-空間)の分類問題に貢献できると考えることは自然であろう。近年，木原浩氏(会津大学)は，圏DiffにQuillen モデル圏構造を導入し，さらにDiffと単体的集合のKan-Quillenモデル圏とのQuillen同値性を証明した。これらモデル圏構造を本研究に応用するために，研究分担者として木原氏に参画していただき，本研究課題 II 「ディフェオロジカルde Rhamホモトピー論，有理ホモトピー論的モデルの構築と応用」を進める体制を整えた。Diffのモデル圏構造とGomez-Tato--Halperin--Tanre [GHT] によるK(π, 1)空間上に媒介変数を持つ，パラメトライズド有理ホモトピー論の手法とを組み合わせることで，diff-空間の単体的集合上の有理化が得られると考えているが，まず，べき零diff-空間に対して，Diffにおける有理ホモトピー論の展開可能性を十分に検討してきた。本研究結果として，べき零diff-空間の場合は，ある程度扱いやすい局所系モデル(柔順モデル)の構成方法を手に入れることができた。

当一般范畴具有奎伦模型范畴结构时，具有可以在该范畴上发展同伦理论的优点。换句话说，可以从类别中对象的同伦不变量的角度来考虑分类问题。此外，奎伦和沙利文的有理同伦理论指出，拓扑空间范畴的模型范畴结构和有序微分代数的模型范畴结构之间的适当伴随函子是同伦范畴的子范畴之间的函数，他声称可以归纳出该函数。类别相当于 .从现在开始，基于同伦的零空间分类（应包含简单连通空间）完全简化为微分代数的分类。很自然地认为，通过构建一个可以在 Diff（差异空间范畴）中发展这种理性同伦理论的框架，我们可以为差异空间（以下简称差异空间）的分类问题做出贡献。最近，Hiroshi Kihara（会津大学）将Quillen模型范畴结构引入到范畴Diff中，并进一步证明了Diff与单纯集的Kan-Quillen模型范畴之间的Quillen等价性。为了将这些模型类别结构应用到本研究中，我们将邀请木原先生作为共同研究员参与，并继续进行本研究项目II“Diffeological de Rham同伦理论，理性同伦理论模型的构建和应用”。已经建立了一个体系。通过将 Diff 的模型范畴结构与 K(π, 1) 空间上的参数化有理同伦理论的 Gomez-Tato--Halperin--Tanre [GHT] 方法相结合，我们可以求解 diff 空间。可以得到单纯集的有理化，但首先我彻底研究了在 Diff 中针对幂零 diff 空间开发有理同伦理论的可能性。通过这项研究，我们获得了一种局部系统模型（灵活模型）的构造方法，该方法在零幂差分空间的情况下比较容易处理。