Research on the well-posedness, regularity, and justification of numerical methods for fluid problems and related boundary-value problems

流体问题及相关边值问题数值方法的适定性、规律性和合理性研究

基本信息

批准号：
20K14357
负责人：
柏原崇人
金额：
$ 2.66万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

(1) シニョリーニ条件やクーロン摩擦条件は、弾性体力学の接触問題の定式化に用いられる基本的な境界条件である。ともに定常問題ではよく研究されている一方で、非定常問題の解析は格段に難しくなり、解の存在や一意性は未解決問題である。我々は、速度を含むようなシニョリーニ型条件を提案し、クーロン摩擦をトレスカ摩擦に単純化した問題であれば、解の存在と一意性が得られることを証明した。(2) 領域内部と境界上で楕円形偏微分方程式を考え、それら2つがノイマン作用素を通じて相互作用するモデルを一般化ロバン境界条件という。昨年度は、一般化ロバン境界値問題に対して、曲がった境界を多角形近似することで生じる領域摂動も考慮した有限要素法の誤差評価を導いた。この結果では領域形状を表現する基底関数と有限要素法の基底関数はともに区分一次多項式（P1要素）に限られていた。今年度は、基底関数を高次の多項式（アイソパラメトリック要素）に拡張することに成功した。(3) 放物型方程式において、時間に関する不連続ガレルキン法を用いると、1段法として1ステップずつ時間を進めることから計算負荷を抑えられる一方で、高次精度を容易に扱えるというメリットを持つスキームを考えることができる。近年注目を集めるアイソジオメトリック解析でも採用されることが多く、このスキームの理論解析は重要な課題である。時間に関する最大値ノルムによる誤差評価が先行研究で示されているものの、時間刻み幅の対数項を含むため最良オーダーではなかった。我々はその結果を改善し、不連続ガレルキン法による近似次数が1以上であるという仮定のもとで、対数項のない最良オーダー収束を示すことに成功した。

(1) 西格诺里尼条件和库仑摩擦条件是弹性体力学中接触问题的基本边界条件。虽然两者都针对平稳问题进行了很好的研究，但非平稳问题的分析要困难得多，并且解的存在性和唯一性仍然是未解决的问题。我们提出了包含速度的 Signorini 型条件，并证明如果将问题从库仑摩擦简化为 Tresca 摩擦，则解存在且唯一。 (2) 在域内和边界上考虑椭圆偏微分方程，并且两者通过诺依曼算子相互作用的模型称为广义洛班边界条件。去年，我们引入了使用有限元方法对广义洛班边值问题进行误差估计，该问题考虑了由弯曲边界的多边形近似引起的面积扰动。在该结果中，表示区域形状的基函数和有限元法的基函数都被限制为分段线性多项式（P1元素）。今年，我们成功地将基函数扩展到高阶多项式（等参元素）。 (3) 当使用与时间相关的间断伽辽金法求解抛物线方程时，由于时间作为一步法一步一步推进，因此可以减少计算负荷，并且具有易于处理的优点高阶精度。该格式的理论分析是一个重要的问题，因为它常被用于等几何分析，近年来引起了人们的关注。尽管以前的研究已经表明使用相对于时间的最大范数进行误差评估，但这并不是最佳顺序，因为它包含时间步长的对数项。我们改进了结果，并在假设不连续伽辽金方法的近似阶数大于或等于 1 的情况下，成功地显示了无需对数项的最佳阶收敛性。