摩擦型境界条件下でのNavier-Stokes方程式の有限要素近似

摩擦边界条件下纳维-斯托克斯方程的有限元近似

基本信息

批准号：
11J00848
负责人：
柏原崇人
金额：
$ 1.22万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2013
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11J00848/
关键词：
ナビエ・ストークス方程式有限要素法摩擦型境界条件滑り境界条件漏れ境界条件ペナルティー法一般化ロバン境界条件流体構造連成 Navier-Stokes方程式濡れ境界条件変分不等式 Ladyzhenskaya型の強解 L1ノルムに対する数値積分

项目摘要

前年度までに得られた、摩擦型滑り・漏れ境界条件を課した非圧縮流体の方程式に対する数学解析と数値解析の成果を論文にまとめた。数値解析においては、多角形領域における定常ストークス方程式に対する有限要素近似の誤差評価が主結果であり、数学解折においては、滑らかな有界領域における非定常ナビエ・ストークス方程式の適切性が主結果となっている。一方で、円板のように、多角形ではない滑らかな境界を持つ場合の有限要素近似に関しては、領域の近似も考えないといけないことからこれまで考察できていなかった。特に滑り境界条件の場合、法線ベクトルの近似が関係する部分を安易に扱うと変分法違反が発生するので注意が必要である。そこで、滑り境界条件問題に対して、法線方向のディリクレ境界条件にペナルティー法と次数低減数値積分を適用した数値計算法を提案した。境界条件が線形の場合には誤差評価が得られ、その有効性を数値実験で確かめた。さらに、摩擦型滑り・漏れ境界条件の場合にこのアイデアを応用した数値計算も行った。摩擦型境界条件以外の、様々な非標準的な境界条件を課したポアソン方程式やストークス方程式を研究した。まず、通常のロバン境界条件にラプラス・べルトラミ作用素のような境界上の2階微分項が加わった、一般化ロバン境界条件問題を考えた。このような一般化ロバン境界条件は、血管内の血流をシミュレーションするための流体構造連成問題のモデルとして使われている。本研究では、線形化・定常化した問題に対して、弱解の存在・一意性とデータの滑らかさに応じた解の正則性を示し、さらに有限要素近似の誤差評価を与えた。次に、ロバン境界条件問題において、パラメータを0または無限大に近づけると、形式的にはノイマンまたはディリクレ条件が得られる。この極限においてロバン問題の解が実際にノイマンまたはディリクレ問題の解に収束することを証明した。

论文总结了去年获得的具有摩擦型滑移/泄漏边界条件的不可压缩流体方程的数学和数值分析结果。在数值分析中，主要结果是对多边形域中稳态Stokes方程的有限元逼近的误差评估；在数学分析中，主要结果是在光滑有界域中非定常Navier-Stokes方程的适当性。已经成为了。另一方面，对于具有非多边形的平滑边界的情况（例如圆盘），不可能考虑有限元近似，因为还必须考虑面积的近似。特别是在滑移边界条件的情况下，必须小心，因为如果不小心处理与法向量近似相关的部分，就会违反变分法。因此，针对滑动边界条件问题，我们提出了一种将惩罚法和降阶数值积分应用于法线方向狄利克雷边界条件的数值计算方法。当边界条件为线性时，可以得到误差评价，并通过数值实验证实了其有效性。此外，我们还将这一想法应用于摩擦型滑动/泄漏边界条件的情况进行了数值计算。我们研究了除摩擦型边界条件之外的各种非标准边界条件下的泊松方程和斯托克斯方程。首先，我们考虑广义 Loban 边界条件问题，其中边界上的二阶微分项（例如 Laplace-Beltrami 算子）被添加到通常的 Loban 边界条件中。这种广义洛班边界条件被用作流体结构相互作用问题的模型，以模拟血管中的血流。在这项研究中，对于线性化和平稳问题，我们展示了解的规律性取决于弱解的存在性和唯一性以及数据的平滑性，并给出了有限元近似的误差评估。接下来，在 Lobban 边界条件问题中，如果参数接近 0 或无穷大，则正式获得 Neumann 或 Dirichlet 条件。我们证明，在这个极限下，Roban 问题的解实际上收敛于 Neumann 或 Dirichlet 问题的解。