幾何学的対称性を用いた非線形波動・分散型方程式の解の挙動と特異性の解析

使用几何对称性分析非线性波/色散方程解的行为和奇异性

基本信息

批准号：
20K14342
负责人：
岡本葵
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K14342/
关键词：
適切性漸近挙動初期値問題非線形分散型方程式

项目摘要

レーザーとプラズマの相互作用を記述する非線形項に微分を含む非線形シュレディンガー方程式系の初期値問題に関する適切性の研究を行った。この方程式系は、ラプラシアンの係数の条件により、解写像の性質、特に、適切性が得られるソボレフ空間の指数が変化することが知られている。令和３年度の研究にて、逐次近似法を用いて初期値問題が適切となる初期値のソボレフ空間のほぼ最良な指数を決定した。令和４年度の研究では、逐次近似法を用いて初期値問題の適切性が得られないような条件の下で、エネルギー法を用いて初期値問題の適切性が得られることを示した。微分型非線形シュレディンガー方程式系では、非線形項に微分を含むことと、単独の方程式ではなく方程式系であるという２つの問題点があり、通常のエネルギー法を適用することは難しい。そこで、これらの２つを同時に処理するために、正則性の高い空間において非線形項に応じたポテンシャル項の修正を行い、初期値問題の適切性が得られることを示した。微分型非線形シュレディンガー方程式系については、このモデルを提案したColin-Colin (2004)により、修正項を伴ったエネルギー法は用いられていた。特に、非線形項に応じたポテンシャル項の修正も行われていたが、本研究では、非線形項の影響を丁寧に観察し、先行研究とは異なる修正項を用いることで、先行研究よりも係数に課す条件を弱めることができることを発見した。（平山浩之氏、木下真也氏との共同研究）

我们研究了非线性薛定谔方程系统的初始值问题的适用性，其中包括描述激光和等离子体之间相互作用的非线性项中的微分。在该方程组中，已知分辨率的属性，尤其是提供适当性的索博列夫空间的索引，根据拉普拉斯系数的条件而变化。在我们2021年的研究中，我们使用逐次逼近法来确定具有初始值的Sobolev空间的最佳索引，这将使初始值问题变得合适。我们在2020年的研究中证明，在使用逐次逼近法无法获得初值问题适当性的情况下，可以使用能量法获得初值问题的适当性。微分非线性薛定谔方程组存在两个问题：非线性项包含微分，并且它是一个方程组而不是单个方程，这使得通常的能量法难以应用。因此，为了同时处理这两者，我们根据高度正则空间中的非线性项修改势项，并证明可以得到初值问题的适当性。对于微分非线性薛定谔方程组，Colin-Colin (2004) 使用带有修正项的能量法，提出了该模型。特别是，根据非线性项修改了势项，但在本研究中，通过仔细观察非线性项的影响并使用与之前研究不同的修改项，我们发现系数可以削弱施加的条件。（与平山博之、木下慎也共同研究）