臨界指数のソボレフ空間における非線型分散型方程式の適切性の解明

具有临界指标的 Sobolev 空间中非线性分布方程的适当性的阐明

基本信息

批准号：
14J00069
负责人：
平山浩之
金额：
$ 1.24万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2014
资助国家：
日本
起止时间：
2014-04-25 至 2016-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

当該年度ではまず、前年度に引き続きレーザーとプラズマの相互作用を記述する非線形シュレディンガー方程式系(以下NLS系)の適切性について調べた。前年度の研究では、非線形相互作用による共鳴が生じない(すなわち「非共鳴条件」が満たされる)場合に空間4次元以上でスケール臨界のソボレフ空間における適切性を得たが、当該年度ではBourgain-Demter(2015)による時空分散型評価を利用することでこの結果を空間3次元以上まで拡張した。また、空間5次元以上の場合には非共鳴条件が満たされない場合にもスケール臨界のソボレフ空間における適切性が得られることを示した。一方、空間4次元以下で非共鳴条件が満たされない場合には、ソボレフ指数が1よりも真に大きいソボレフ空間における適切性を得た。次に、非共鳴条件が満たされない場合の全空間(2次元)上のNLS系の解の漸近挙動について調べた。非共鳴条件が満たされていない場合には非線形項に含まれる微分から生じる特異性の解消が難しく、思うように研究が進展しなかった。最後に、前年度に引き続き4階非線形シュレディンガー方程式(以下4NLS)の適切性と解の漸近挙動について調べた。前年度の研究ではスケール臨界なソボレフ空間における4NLSの適切性についての結果を得たが、より広いソボレフ空間での適切性を得るために当該年度では確率化された初期値を扱った。Lurmann-Mendelson(2014)およびBenyi-Oh-Pocovnicu(2015)によるウィーナー分解を用いた確率化の方法を適用することで、微分を含む3次の非線形項をもつ4NLSが空間3次元以上でスケール臨界なソボレフ空間より広いソボレフ空間において、ほとんど確実に適切となり解が散乱することを得た。また、この手法を非共鳴条件を満たし非線形項に微分を含む非線形シュレディンガー方程式にも応用した。

今年，我们和去年一样，首次研究了描述激光与等离子体相互作用的非线性薛定谔方程组（以下简称NLS系统）的适用性。在前一年的研究中，我们在四维或更高维度的尺度临界索博列夫空间中，当不发生非线性相互作用引起的共振（即满足“非共振条件”）时，获得了适当性，但今年，布尔根- 通过使用 Demter (2015) 的时空分布式评估，我们将此结果扩展到三个以上的空间维度。此外，我们还表明，在 5 个或更多空间维度的情况下，即使不满足非共振条件，也可以获得尺度临界 Sobolev 空间的适用性。另一方面，如果在小于 4 维的空间中不满足非共振条件，则我们在 Sobolev 空间中获得了适用性，其中 Sobolev 指数确实大于 1。接下来，我们研究了当不满足非共振条件时，NLS 系统解在整个空间（二维）上的渐近行为。如果不满足非谐振条件，就很难解决非线性项中包含的微分引起的奇异性，研究也不会取得预期的进展。最后，继续去年的研究，我们研究了四阶非线性薛定谔方程（4NLS）的适用性以及解的渐近行为。在去年的研究中，我们获得了4NLS在尺度临界Sobolev空间中的适用性的结果，但为了获得更广泛的Sobolev空间中的适用性，今年我们使用了随机初始值。通过应用 Lurmann-Mendelson (2014) 和 Benyi-Oh-Pocovnicu (2015) 使用维纳分解的随机方法，具有三阶非线性项（包括导数）的 4NLS 在三个或更多空间维度上变得尺度关键。索博列夫空间比索博列夫空间宽，解几乎肯定是适当的，并且解是分散的。我们还将这种方法应用于满足非共振条件并在非线性项中包含微分的非线性薛定谔方程。