Study on blowup phenomena for Shcr\"odinger equations with non-gauge invariant power type nonlinearities

非规范不变幂型非线性Shcr"odinger方程的爆炸现象研究

基本信息

批准号：
20K14337
负责人：
藤原和将
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K14337/
关键词：
消散型波動方程式冪乗型自己相互作用爆発解析大域解析分数階微分作用素臨界尺度半波動方程式シュレーディンガー方程式周期境界条件非ゲージ不変性有限時刻爆発必要充分条件シュレディンガー方程式絶対値冪乗型非線型項解の爆発現象

项目摘要

2022年度の研究では，消散型波動方程式の初期値問題の爆発解析を進展させた．特に，初期位置と初期速度が相殺する場合の爆発解析について検討した．この場合，従来の弱形式を経由する爆発解析を直接適用することはできず，周期境界条件におけるシュレディンガー方程式の場合と同様に解の振動が与える影響を検討する必要がある．2022年度の研究では，直線上の消散型波動方程式に対して，周期境界条件でのシュレディンガー方程式の様な極端な不安定性はは発生しないものの，初期位置と初期速度が相殺する場合は，自己相互作用の形状に応じて解が延長される事が判明した．特に，解の存在最大時刻は，解の連続性の観点から延長できる最長の時刻まで延長される事を示した．解の存在最大時刻が延長される理由は，対応する自由解の減衰速度が，他の場合に比べて早い事に起因する．非線形問題の解は大凡自由解の周辺で発展する摂動論の枠組みで構成する．初期位置と初期速度が相殺する場合は，自己相互作用に由来するデュアメル項の影響と自由解が拮抗する時刻において，解が初期状態に比べて小さくなる為，更にそこから通常の摂動論によって解を構成する事で，解の存在最大時刻を精密に評価する事が可能となった．一方で2022年度の研究では，リー，ツォウの議論を改良し，解が非正値を維持したまま大域的に存在する為の初期状態の条件を拡張した．特に，従来の古典解を経由した議論を回避する為に，消散型波動方程式の波動方程式への変形を積分方程式の観点から整理した．具体的には，消散型波動方程式の発展作用素の積分核を構成するベッセル関数の計算を容易にする積分変数の変換を用いる事で，初期状態の滑らかさを全く仮定することなく，リー，ツォウの議論を拡張する事ができた．また，2022年度の研究では，更に詳細な爆発解析を進展されるた為に，対応する常微分方程式の解析を進展させた．

在2022年的研究中，我们对耗散型波方程的初始值问题进行了爆炸分析。特别是，当初始位置和初始速度被抵消时，我们研究了爆炸分析。在这种情况下，不可能通过常规弱形式直接应用爆炸分析，并且有必要检查解决方案振动对周期性边界条件的影响，例如Schrödinger方程。一项2022年的研究发现，尽管线性耗散波方程在周期性边界条件下没有像Schrödinger方程那样的极端不稳定，但是当初始位置和初始速度取消时，溶液会根据自我相互作用的形状扩展解决方案。特别是，结果表明，解决方案存在的最大时间延长至可以从解决方案的连续性角度扩展的最长时间。延长解决方案的最大时间的原因是，相应的自由溶液的衰减速率比其他情况更快。非线性问题的解决方案是在围绕一般自由解决方案发展的扰动理论框架中构建的。当初始位置和初始速度取消时，解决方案在Duhamel项的影响下，从自我交互和自由溶液衍生的时，解决方案就会更小，并且可以通过使用正常的扰动理论来精确评估解决方案的最大溶液存在时间的最大时间。另一方面，2022年的研究改善了Lee和Tsow的讨论，并扩展了解决方案在全球存在的同时保持非阳性值的初始状态条件。特别是，为了避免通过常规的经典解决方案讨论，从积分方程的角度组织了耗散型波方程向波方程的转化。具体而言，通过使用积分变量的转换来促进构成耗散型波方程进化算子的贝塞尔函数的计算，可以扩展对谎言和Zow的讨论，而无需假设初始状态的平滑度。此外，在2022年的研究中，进一步进行了详细的爆炸分析，并进行了相应的普通微分方程的分析。