Global solutions to the Cauchy problem for systems of quasi-linear wave equations satisfying the weak null condition

满足弱零条件的拟线性波动方程组柯西问题的全局解

基本信息

批准号：
21K03324
负责人：
肥田野久二男
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Mie University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03324/
关键词：
波動方程式半線形波動方程式初期値問題 null condition 時間大域解 weak null condition global existence blow up wave equation 準線形波動方程式

项目摘要

空間3次元で標準的なnull conditionを満たさず、複数の伝播速度を持つ半線形波動方程式系の初期値問題を考察した。小さくなめらかな初期値に対して時間大域解が存在するための十分条件であるnull conditionが破綻しているために、時間大域解の存在は小さな初期値の場合でも決して自明ではない。この方面の研究は、考察する波の伝播速度がすべて互いに異なる場合と、例えば、二つの波の伝播速度は同一であるが、もう一つの波の伝播速度がそれとは異なるような3成分のシステムに対する場合に対して行われてきた。今回は後者の設定で考察を行った。後者の問題設定が興味深い理由は、伝播速度がすべて同じ場合にLindbladとRodnianskiが導入したweak null conditionという、小さくなめらかな初期値に対して時間大域解が存在するための十分条件であるかと問題提起された条件が、この問題にも十分条件（の一部）になっているのではないかと期待されるからである。実際には、null conditionが満たされていないために、time decayが遅い成分が混ざり、その成分とは伝播速度が異なる成分との相互作用において、伝播速度の違いから得られているはずのtime decayの得をどのように観測するかが至難の業であり、先行結果においてはそのような相互作用は除外されてきていた。今回、方程式系と初期値が球対称で、よって解も球対称であるような場合に限るものの、上述のような相互作用を入れた系を考察することが出来た。つまり、そのような場合に小さくなめらかな球対称な初期値に対しては、一意的な時間大域解の存在を示すことが出来た。

我们考虑在三维上不满足标准零条件并且具有多个传播速度的半线性波动方程系统的初值问题。由于零条件（对于小且平滑的初始值存在时间全局解的充分条件）被违反，因此即使对于小的初始值，时间全局解的存在性也不明显。该领域的研究重点是三分量系统，其中所考虑的波的传播速度都彼此不同，例如，两个波具有相同的传播速度，但另一个波的传播速度很多情况下都是这样做的。这次，我们考虑的是后者的设置。后一个问题设置之所以有趣，是因为它提出了这样一个问题：Lindblad 和 Rodnianski 引入的弱零条件是否是当所有传播速度都为小而平滑的初始值时存在时间全局解的充分条件这是因为预计上面给出的条件也是该问题的（部分）充分条件。实际上，由于不满足零条件，混入了时间衰减较慢的分量，当与传播速度不同的分量相互作用时，本应根据传播速度的差异获得时间衰减确定如何观察这种相互作用的好处是极其困难的，之前的结果已经排除了这种相互作用。这次，我们能够考虑一个包含上述相互作用的系统，尽管这仅限于方程组和初始值是球对称的情况，因此解也是球对称的。换句话说，我们能够证明在这种情况下，对于小、平滑且球对称的初始值存在唯一的时间全局解。