高周波漸近解析に基づいた非線形偏微分方程式の研究

基于高频渐近分析的非线性偏微分方程研究

基本信息

批准号：
21K03314
负责人：
砂川秀明
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Osaka Metropolitan University (2022)Osaka City University (2021)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

昨年度に引き続き、消散型の非線形項を伴うシュレディンガー方程式についての研究をChunhua Li氏、佐川侑司氏と共同で行った。昨年度は主に1次元ユークリッド空間において非線形項の次数が3次の場合の解の時刻無限大におけるL^2減衰レートについて考えてきたが、今年度はその高次元化を主目標として研究を進めた。関連する研究を行っている北直泰氏、佐藤拓也氏らと情報交換を行い、空間次元が2で非線形項の次数が2である場合または空間次元が3で非線形項の次数が5/3である場合には、おそらく最適と思われるL^2減衰レートの下限を導くことができた。北氏と佐藤氏はこのことを背理法に基づいた(間接的な)論法で証明しているが、我々は漸近解析の手法に基づいたより直接的な別証明を考案中である。来年度もこの研究を継続し、成果を論文にまとめて学術雑誌へ投稿する予定である。なお、空間次元が4以上である場合には全く手がついておらず、今後の課題である。また、上記の成果とは別に、弱い消散構造を伴う非線形シュレディンガー方程式に関するLi氏、佐川氏および西井良徳氏との共同研究に基づくここ数年の一連の研究成果を“Recent advances on Schrodinger equations with dissipative nonlinearities”と題するサーベイ論文にまとめ、小澤徹教授の還暦記念研究集会のプロシーディングに寄稿した。

继去年之后，我与李春华老师和佐川雄二老师合作，研究了带有耗散非线性项的薛定谔方程。去年，我们主要考虑了一维欧氏空间中非线性项的阶次为三次时解在无穷大时间处的 L^2 衰减率，但今年我们将继续研究，主要目标是提高维数。我们与 Naoyasu Kita、Takuya Sato 等进行相关研究的人交换了信息，发现当空间维度为 2、非线性项的阶数为 2 时，或者当空间维度为 3、非线性项的阶数时在这种情况下，我们能够得出可能最佳的 L^2 衰减率下限。喜多先生和佐藤先生已经使用基于逆向方法的（间接）论证证明了这一点，但我们目前正在设计另一种基于渐近分析方法的更直接的证明。我们计划明年继续这项研究，将结果总结成一篇论文，并提交给学术期刊。请注意，尚未对空间维度为 4 或更大的情况进行任何工作，这是未来的问题。除了上述成果外，我们还介绍了过去几年与李、佐川和西井义典共同研究的弱耗散结构非线性薛定谔方程的一系列研究成果，我将其整理成一篇题为“的综述论文”。 “非线性”，并将其贡献给小泽彻教授 60 岁生日纪念研究会议的会议记录。