Zero distribution of Dirichlet L-functions

狄利克雷 L 函数的零分布

基本信息

批准号：
21K03204
负责人：
宗野惠樹
金额：
$ 1万
依托单位：
Kanto Gakuin University (2022)Kobe University (2021)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は、正方形の中に様々なサイズの正方形を無駄なく詰め込む(これを完全詰め込み, perfect packingという)計量幾何学の問題を、素数分布論などの解析的整数論の方法を用いて研究した。この研究は、去年2月ごろにarXivに発表されたTerence Taoの論文の一般化にあたる。具体的には、正の値を取るある単調増加な関数fと、自然数n_[0}および任意のパラメータ1/2<t<1に対し、一辺の長さがf(n)^{-t} (n≧n_{0})の正方形たちが、面積がΣ_{n≧n_{0}}f(n)^{-2t}の正方形に無駄なく詰め込まれるための関数fの十分条件を10個の不等式で記述した。先述したTaoの研究は、f(n)=nの場合に相当する。私の研究では、f(n)が等差数列の場合や、n番目の素数を与える関数の場合にも、n_{0}を十分大きく取ることで、このような完全詰め込みが可能であることを証明した。また、f(n)が双子素数を与える場合にも、少し大きい正方形に詰め込みが可能であることを証明した。証明には一部Mathematicaによる数値計算を用いた。同様の結果が、3次元立方体や、より一般のd次元の図形においても、ある条件下で実現することが期待され、それは今後の課題の一つとして検討している。また、この研究で用いた関数の構成法は今回の問題以外の整数論の諸問題にも幅広く応用できると期待され、ぜひ活用していきたい。研究成果は論文として発表し、Discrete Mathematics誌にアクセプトされ、2023年1月に掲載された。

今年，我们研究了计量经济几何问题，即利用素数分布理论等解析数论的方法，将不同大小的正方形无浪费地堆积成一个正方形（这称为完美堆积）。这项研究是陶哲轩去年 2 月左右在 arXiv 上发表的论文的概括。具体来说，对于取正值、自然数n_[0}和任意参数1/2<t<1的单调递增函数f，一侧的长度为f(n)^{-t } 足够将 (n≧n_{0}) 的正方形填充到面积为 Σ_{n≧n_{0}}f(n)^{-2t} 且无浪费的正方形中的函数 f 的条件为 10。可写为使用几个不等式。陶先生的上述研究对应的是f(n)=n的情况。在我的研究中，即使 f(n) 是算术级数或给出第 n 个素数的函数，只要证明 n_{0} 足够大，这种完全打包也是可能的。我们还证明，即使 f(n) 是孪生素数，也可以打包成稍大的正方形。使用 Mathematica 的数值计算部分用于证明。预计对于 3 维立方体和更一般的 d 维图形，在某些条件下也将获得类似的结果，我们正在将此视为我们未来的任务之一。此外，本研究中使用的构造函数的方法预计将广泛适用于除此之外的数论中的各种问题，我想利用它。研究成果以论文形式发表，被Discrete Mathematics接收，于2023年1月发表。