楕円曲線に付随する非可換拡大における新たな数論の研究

椭圆曲线非交换扩张中的新数论研究

基本信息

批准号：
21J13502
负责人：
臺信直人
金额：
$ 0.96万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-28 至 2023-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

昨年度に引き続き、楕円曲線のp冪等分体(pは素数)のイデアル類群を研究した。等分体のイデアル類群をGalois加群として扱うとき、その大きさを下から評価するには適切なガロアコホモロジー群の中の不分岐な類の存在が重要である。適当な条件下で、p-Selmer群をpの惰性群に制限する写像の核は、そのような不分岐な類からなる。従来のPrasad-Shekharの研究などでは、その核を用いて不分岐なコホモロジー類のなす空間を下から評価し、不分岐な類の存在/非存在を考察していた。本年度行った研究では、楕円曲線上の有理点のなす群の中に、ある局所条件を満足する点のなす部分群を定義し、それを用いて等分体のイデアル類群を下から評価した。上に述べたSelmer群上の制限写像の核に比較して、上記の有理点の群は明示的な考察が容易である。実際、いくつかの場合に上記の有理点の群が非自明になる十分条件を明示的に与えることができた。さらに位数無限大の有理点に対して、その点が上記の群に属する十分条件を、有理点の(p進)形式logによる値を用いて明示的に与える事ができた。その結果、Prasad-Shekharの研究を含む従来の結果の多くを部分的に改善することができた。特に今年度の研究成果は、従来は取り扱いが困難であったTate-Shafarevich群のp部分が自明で、階数が1以下である楕円曲線の等分点のイデアル類群を調べることに応用できる。さらにこの成果は、当初目標としていた楕円曲線の(p進)L関数と等分体のイデアル類群との関係性を調べることにも応用できると考えている。

继去年之后，我们研究了椭圆曲线的p幂等域（p为素数）的理想类群。当将等分域的理想类群视为伽罗瓦模时，适当的伽罗瓦上同调群中无分支类的存在对于从下评估其大小非常重要。在适当的条件下，将 p-Selmer 群限制为 p 的惯性群的映射的核心由这样一个无分支的类组成。 Prasad-Shekhar等先前的研究使用核心从下评估无分支上同调类形成的空间，并考虑无分支类的存在/不存在。在今年的研究中，我们在椭圆曲线上的有理点群中定义了满足一定局部条件的点子群，并用它从下往上评价等分域的理想类群。与上述Selmer群上的限制图核相比，上述有理点群更容易明确地考虑。事实上，我们能够明确地给出充分条件，使上述一组有理点在某些情况下变得不平凡。此外，对于无限阶有理点，我们能够使用有理点的 (p-adic) 对数形式的值明确给出该点属于上述组的充分条件。结果，他们能够部分改进之前的许多结果，包括 Prasad-Shekhar 的工作。特别是今年的研究结果表明，过去难以处理的Tate-Shafarevich群的p部分是微不足道的，可以应用于研究秩椭圆曲线等距点的理想类群1 或更少。此外，我们相信这个结果可以应用于研究椭圆曲线的（p-adic）L函数与等分域的理想类群之间的关系，这也是我们最初的目标。