制限分岐版ノイキルヒ・内田の定理とその周辺

Neukirch-Uchida 定理及其周围环境的限制分支版本

• 批准号: 21J11879
• 负责人: 清水 陵嗣
• 金额: $ 0.96万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-28 至 2023-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21J11879/
• 关键词: 遠アーベル幾何学; 整数論; ガロア群

前年度から引き続き、数体の絶対ガロア群の最大副C商に関する遠アーベル幾何の研究を行った。まず、剰余標数の復元に関して、円分指標と円分体論を用いる新しい手法を開発した。これにより、密度に関する仮定を弱める事ができた。次に、体の同型に関して、内田興二氏の手法を修正して得られた新しい手法により、前年度まで課していた虚素点に関する仮定を外す事ができた。これらの結果を用いて、最大副C商版ノイキルヒ・内田の定理を、「Cに関する素数の集合のディリクレ密度が0でない」という研究開始時に期待していたよりも弱い仮定の下で証明した。上記の結果以外に、Cに関する素数の集合のディリクレ密度が0の場合の部分的な結果も得られた。これは「最大副p商版」へのアプローチにもなっている。一方で、最大副p商版は、「最大2-step冪零商版」の反例の構成に関する論文（arXiv:2301.10342）において反例の存在が予想されており、複数のアプローチによる更なる発展が期待できる。これらの結果をまとめた論文のプレプリントはarXivにて公開済み（arXiv:2303.02931）で、現在学術誌へ投稿中である。また、昨年度に執筆した論文：「Isomorphisms of Galois groups of number fields with restricted ramification」の投稿作業を進め、Mathematische Nachrichtenにおける掲載が決定した。

继去年之后，我们针对多个域的绝对伽罗瓦群的最大亚C商进行了远交换几何研究。首先，我们开发了一种利用圆索引和圆场理论恢复余数特性的新方法。这使我们能够削弱有关密度的假设。接下来，关于场同构，我们通过使用修改内田浩司的方法而获得的新方法，能够消除直到前一年为止强加的关于虚点的假设。利用这些结果，我们证明了 Neukirch-Uchida 定理的最大 sub-C 版本，其假设比我们在研究开始时预期的更弱：“素数集相对于 C 的狄利克雷密度不是0。”除了上述结果外，我们还得到了素数集相对于C的狄利克雷密度为0的情况的部分结果。这也是“最大副p商业版”的一种做法。另一方面，论文（arXiv：2301.10342）在构建“最大2步p商版本”的反例中预测了反例的存在，并且预计可以使用多种方法进行进一步的开发。总结这些结果的论文预印本已发表在 arXiv (arXiv:2303.02931) 上，目前正在提交给学术期刊。此外，我们一直在努力提交去年写的论文：《具有受限分支的数域伽罗瓦群的同构》，并已决定在《Mathematicische Nachrichten》上发表。

项目成果

The Neukirch-Uchida theorem with restricted ramification

具有有限分支的 Neukirch-Uchida 定理

• DOI: 10.1515/crelle-2021-0090
• 发表时间: 2022
• 期刊: Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)
• 作者: D.Yoon;H.J.Park;Y.Tasaka;Y.Murai;Masahiro Fujisawa;Shimizu Ryoji
• 通讯作者: Shimizu Ryoji