相对论性费米子弹球的量子混沌研究

Due to the discovery of mateirals with linear dispersion relation, such as graphene and topological insulators, and the relativistic quantum behavior of their quasi-particles, quantum chaos of relativistic billiards has attracted much attention recently. We have investigated quantum scars and level spacing statitics of graphene billiards and their consequences in electron transport of graphene quantum dots. However, since graphene has a discrete boundary instead of commonly used continuous billiard boundaries, and the two inequivalent Dirac points are usually coupled together by short range intervalley scattering, such as the clear-cut boundary, for some phenomena it is not possible to investigate solely the relativistic effect. Therefore, in this proposal, we shall directly solve the Dirac equation in a finite confined region, to systematically investigate quantum chaos of Dirac fermion billiards. And because of the experimental verificatioin of Majorana fermion quasiparticles last year, we shall also explore quantum chaos in Majorana fermion billiards. We shall expand the previously developed conformal mapping method and the direct discretization method to solve accurately the eigen energy and the eigen wavefunction of the (massive) Dirac chaotic billiards and the Majorana chaotic billiards, to investigate the peculiar characteristics of quantum chaos for relativistic fermion billiards. This line of research will enrich the understanding of quantum chaos of relativistic quantum systems, and will also help to understand the origion of phenomena such as abnormally large conductance fluctuations in quantum dots made of graphene and other new materials with linear dispersion relations.

由于石墨烯、拓扑绝缘体等线性色散关系材料的发现及其准粒子的相对论性量子力学行为，相对论性准粒子的量子混沌及其在电子输运中的效应近期受到了广泛关注。我们之前研究了石墨烯弹球系统的量子疤痕和能级间距统计及其对电子输运的影响，但由于石墨烯离散的边界及其两个狄拉克点的耦合，对某些现象无法单独考察相对论性的贡献。为此，在本项目中，我们将直接求解给定约束下的狄拉克方程，系统研究狄拉克费米子弹球的量子混沌。并且，由于马约拉纳费米子作为准粒子去年在实验上被验证，我们也将考察马约拉纳费米子弹球的量子混沌行为。我们将扩展已初步发展的共形变换法和直接数值离散的方法来精确求解狄拉克混沌弹球和马约拉纳混沌弹球的本征能量和本征态，找出相对论性费米子弹球独有的量子混沌特征。这一研究将丰富人们对相对论性量子系统中量子混沌的认识，并有助于阐明石墨烯等新材料中电导反常涨落等现象的起源，对这些材料的器件应用具有潜在的价值。

由于石墨烯、拓扑绝缘体等线性色散关系材料的发现及其准粒子的相对论性量子力学行为，相对论性粒子的量子混沌受到了人们很大关注。对于石墨烯，两个狄拉克点一般会耦合起来，无法考察单粒子的行为。为此，在本项目中，我们直接求解狄拉克方程，系统研究了狄拉克费米子弹球的量子混沌。. 我们理清楚了二维狄拉克弹球在质量势约束下的反常相位问题及时间反演对称性破坏的微观机制。一般来讲，对时间反演对称性的破坏需要引入外磁场。对于二维零质量狄拉克弹球，对时间反演对称性的破坏仅仅来自于粒子在边界处的反射。考虑一个理想界面，一边质量势为0，另一边质量势为无穷，那么不管粒子以何角度入射到界面上，哪怕入射方向为斜下时，都会在边界贡献一个向上的流。因自旋算符和流算符只差一常数，所以在边界上，自旋始终朝上，跟入射角度无关。这种流和自旋在边界上的极化正是质量约束破坏时间反演对称性的微观机制。虽然每一次在边界的反射都会导致一个额外的与自旋有关的相位，从而破坏了时间反演对称性，但对于封闭的轨道，当其与边界的碰撞次数是偶数次时，绕轨道正转一周和反转一周总的相位差是2pi的整数倍，并不破坏时间反演对称性。只有奇数次碰撞的轨道，正转反转的相位差会有一个额外的pi相位，破坏了时间反演对称性，对应着手性疤痕。我们发现，这一在边界反射导致的附加相位和通过在系统中心增加一个磁通导致的相位的效果相同，这样这一边界反射得到的相位就能够通过磁通来调控，从而改变疤痕的手性特征。这一系统由Berry爵士1987年给出，经过了近三十年，我们给出了完整的理解。. 除了这一重要进展，我们还取得了一系列成果，如发展了求解Dirac方程波函数的边界积分方法，研究了扇形的石墨烯弹球，发现了在狄拉克点附近反常的GOE统计，考察了质量对手性疤痕影响等等，研究成果整理发表为14篇标注本基金资助的SCI论文。这些成果将丰富人们对相对论性量子系统中的量子混沌的认识，并具有潜在的应用价值。

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