代数几何码与低维Hull线性码的构造与应用研究

Algebraic-geometry codes (AG-codes) and linear codes with low dimensional Hull are hot researching topics in recent 40 years. Many linear codes with good properties are constructed by using algebraic-geometry codes. AG-codes and linear codes with low dimensional Hull have many applications in security sharing schemes, quantum codes, and asymptotically good codes. This project is devoted to investigating the constructions of AG-codes with good properties and new approaches to obtaining linear codes with low dimensional Hull. Then we will analysis the algebraic and geometric structure of such codes. Finally, we will use these codes to get some quantum codes with new parameters and new security sharing schemes. This research not only has its great meaning on theory, and also has good application foreground.

代数几何码与低维Hull的线性码近40年来一直是研究的热门课题。许多具有良好性能的线性码都是由代数几何码构造的。代数几何码与低维Hull的线性码在秘密共享方案、量子码、以及渐近优码的构造方面都有重要的应用。本课题研究一些具有良好性能的代数几何码的构造方法以及利用这些码与其他一些工具构造具有低维Hull的线性码的新方法，分析这些码的代数与几何结构，最后利用这些码构造一些新参数的量子码与秘密共享方案。这些研究不仅在理论上具有重要意义，同时具有很好的应用前景。

代数几何码与低维Hull的线性码近40年来一直是研究的热门课题。许多具有良好性能的线性码都是由代数几何码构造的。代数几何码与低维Hull的线性码在秘密共享方案、量子码、以及渐近优码的构造方面都有重要的应用。本课题研究一些具有良好性能的代数几何码的构造方法以及利用这些码与其他一些工具构造具有低维Hull的线性码的新方法，分析这些码的代数与几何结构，最后利用这些码构造一些新参数的量子码与秘密共享方案。这些研究不仅在理论上具有重要意义，同时具有很好的应用前景。通过项目的实施，我们取得了如下的成果：.（1）我们得到了一些卷积码的构造，这些码具有较小的字符集，与已知的结果比较可知，我们的构造具有较小的物理开销。.（2）我们得到了几类具有较小重量的线性码，利用这些码可以构造一些特殊参数的量子码。.（3）利用矩阵积码，我们构造了一些好的局部修复码。.（4）我们得到了一些优参数的循环码。.（5）我们研究了局部环上的特征和以及它们的应用，我们构造了一些好参数的信号集。.另外，这个项目一个主要目的是支持学术交流活动。我们在2023年7月2-4日组织了一次国际学术交流。主要是邀请了20几位专家来南京做学术报告，参会人员有48位。这次会议我们交流了在编码密码以及分布式存储等方面国际前沿的进展。会议取得了很好的效果，在同行中有较大反响。

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