低秩张量优化问题的模型、算法及应用

In the era of big data, we are facing huge-scale dense data in the form of tensor (also named multidimensional array). This project studies the tensor with low rank structure arising from areas such as biomedical engineering, image processing, computer vision, radar waveform design, higher-order moments portfolio selection, etc. Theoretically speaking, the low rank tensor optimization is an important subject of study on its own right, due to the close collections to tensor eigenvalue computation and polynomial optimization. Since computing the CP-rank of a tensor is NP hard, the current literature mainly focuses on low n-rank tensor optimization problems. However the relationship between CP-rank and n-rank remains unclear. For this reason, we are going to study a new and easy computing tensor rank, consider its collection to CP-rank and propose a couple of new low rank tensor models. The solution methods of these problems are based on the first order method, and the proposed algorithms are tailored for the feature of tensor data. To show the performance of our algorithms we shall conduct some numerical tests, and hopefully, our models can be justified by the final outcomes. Finally, we will apply our models and algorithms to solve some real life problems such as multidimensional recommendation system design, higher-order moments portfolio selection, and etc.

在这个大数据的时代,我们将面对许多以张量（即高维数组）形式出现的大规模数据。本项目将重点研究具有低秩结构的张量，其应用领域十分广泛，包括生物医学工程、图像处理、计算机视觉、雷达波形设计以及高阶矩的组合投资问题等。另外，低秩张量优化与其他的热点研究领域如张量的特征值计算和多项式优化都有密切的联系，因此具有很高的理论研究价值。由于计算张量的CP-秩是NP困难的，所以现有的文献多研究低n-秩张量的优化问题。但遗憾的是CP-秩与n-秩的关系并没有得到充分的讨论。本项目将研究一种新的并且易于计算的张量秩,考虑其与CP-秩的关系，并提出一系列新的低秩张量优化模型。我们将结合一阶方法设计出适合张量数据特点的快速算法。我们还会通过一些数值实验和仿真模拟来验证算法的有效性和说明模型的合理性。最后，我们将尝试运用这些张量问题的模型和算法去解决一些实际生活中的问题，如多维推荐系统的设计以及高阶矩的组合投资问题。

在这个大数据的时代,我们将面对许多以张量（即高维数组）形式出现的大规模数据。低秩张量优化与其他的热点研究领域如张量的特征值计算和多项式优化都有密切的联系，其应用领域十分广泛，包括生物医学工程、图像处理、计算机视觉，以及高阶矩的组合投资问题等，具有很高的理论研究价值。由于计算张量的CP-秩是NP困难的，本项目基于可计算性提出了张量M-秩的定义,并研究其与CP-秩的关系。本项目还建立了张量的低秩性转与核张量的低秩性或者张量分解中因子矩阵的类稀疏性之间的等价性，并提出一系列新的低秩张量优化模型。在算法方面，我们主要研究了一阶算法在张量优化问题中的表现，并分析了其收敛性质。在应用方面，我们把低秩优化算法应用到生物信息学中去推断缺失的基因信息。

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