非线性长短波系统中的深度学习方法及应用

Deep learning on the basis of neural network is a new approach that has attracted much attention in recent years, which studies physical phenomena in accordance with the certain statistical distribution laws directly from the given initial data and has been successfully applied in many fields. For the nonlinear partial differential equations, the recently proposed physics-informed neural networks (PINNs) refers to the network trained to solve supervised learning tasks which follow the given physical laws described by the model, and it is used to solve two main classes of problems: data-driven solution and data-driven discovery of the equation. This project will study the long wave-short wave system via the deep learning on the PINNs, which mainly contains the construction of integrable Yajima-Oikawa and Newell long wave-short wave system’s neural network, the exploration of the interaction mechanism between the long wave and short wave and the dynamic phenomena through numerical simulation, and the data-driven discovery of the integrable classification of the coupled long wave-short wave model. These studies will extend the application of deep learning into coupled differential systems, reveal more abundant nonlinear dynamics phenomena, and provide the new techniques and approaches for the integrability research from the perspective of scientific computation.

基于神经网络的深度学习是近些年备受关注的一种新型技术手段，其在给定的初始数据基础上直接研究符合一定统计学分布规律的物理现象，已经在许多领域有着成功的应用。在非线性偏微分方程的研究方面，最近提出的物理信息神经网络是指训练求解监督学习任务(其遵守模型描述的物理规律)的网络，主要用来解决两类问题：数据驱动求解和数学驱动挖掘方程。本项目将利用物理信息神经网络的深度学习研究长短波系统，主要构建可积的YO型和Newell型长短波系统对应的神经网络，通过数值实验模拟探索长波和短波之间的相互作用机制和动力学现象，并对耦合长短波模型的可积分类进行数据驱动挖掘等。这些研究将拓展深度学习在耦合微分系统中的应用，揭示更为丰富的非线性动力学现象，同时将从科学计算角度为可积性研究提供新的手段和途径。

基于神经网络的深度学习在近些年来研究热点之一，在其应用于非线性偏微分方程方面，物理信息神经网络是一种有效的算法，可以用于数据驱动求解和方程参数识别。本项目主要研究了深度学习在耦合可积系统中应用的理论和方法，改进和发展了物理信息神经网络算法和框架格式，并成功应用于非线性可积方程的正反问题的研究。具体包括：建立了带有交互区域的物理信息神经网络算法，研究了Massive Thirring模型的数据驱动局域波和参数识别；发展了基于包围型区域分解的阶梯式物理信息神经网络算法，研究了Newell型长短波系统的正反问题；提出了耦合修正Yajima-Oikawa长短波系统，系统构造了多孤子和呼吸子等tau函数解；构造了Massive Thirring模型的一般Shur多项式形式的怪波解，分析了怪波解与Yablonskii-Vorobev多项式根之间的关系及分布图。项目的研究工作扩展了物理信息神经网络的在耦合可积系统钟应用的理论与方法，研究方法从科学计算角度为可积方程研究提供了新的技术手段，研究结果揭示了非线性可积系统中更为丰富的结构与性质。

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