乘法李共形代数及其共形模理论的研究

In this project, we mainly study multiplicative Lie conformal algebras and their conformal modules theory. The content can be divided into the following three parts: (1)We will study the structure theory of multiplicative Lie conformal algebras, including universal central extensions, conformal derivations, direct sum decomposition of semi-simple multiplicative Lie conformal algebras, etc.; (2)We shall study the classification of finite irreducible conformal modules of multiplicative Lie conformal algebras and the classification of extensions between irreducible conformal modules; (3)We will study the cohomology theory of multiplicative Lie conformal algebras and calculate the cohomology of current multiplicative Lie conformal algebras and general multiplicative Lie conformal algebras. In July 2023, we will hold an advanced seminar with the theme of "Multiplicative Lie conformal algebra and related topics" at Shanghai University for about two weeks, and 15 experts will be invited.

本项目主要研究乘法李共形代数及其共形模理论，研究内容主要分成如下三个方面：(1)研究乘法李共形代数的结构理论，包括泛中心扩张、共形导子、半单乘法李共形代数的直和分解等；(2)研究乘法李共形代数的有限不可约共形模的分类，以及不可约共形模之间扩张的分类问题；(3)研究乘法李共形代数的上同调理论，计算流乘法李共形代数和一般乘法李共形代数的上同调. 2023年7月在上海大学举办主题为“乘法李共形代数及相关领域”的高级研讨班，为期2周左右，规模约15人.

乘法李共形代数的结构与表示理论的研究是李理论研究的重要方向，与顶点算子代数及其表示理论、李代数及其表示理论等有着紧密的联系。本项目的主要成果是：(1) 研究了顶点算子代数的扭正则表示，并给出了不可约扭模与特征标的直接典范联系；(2) 研究了拓扑N=2超BMS3代数g、Block型代数B’(p,q)、Block(无中心)N=1李超代数上的非权模；(3) 构造了BMS-Kac-Moody代数的单限制模，构造了BMS-Kac-Moody代数的单限制模与一族有限维可解李代数的单模之间的一一对应；(4) 研究了二维超对称伽利略共形代数g的李超双代数结构，得到了g上只能有三角上边缘李超双代数结构；确定了平面伽利略共形超代数的超斜对称超双导子，并证明了平面伽利略共形超代数的每个超对称超双导子是内的。这些研究成果有利于乘法李共形代数、顶点算子代数、无穷维李代数和量子群相应研究工作的深入开展，有很重要的理论价值。..经过一年的研究工作，本项目发表含有项目标注论文7篇，其中SCI收录7篇，主要代表性论文发表在著名代数期刊Journal of Algebra（1篇）、Communications in Algebra (1篇)上，其他一些文章发表在Forum Mathematicum、Journal of Geometry and Physics以及Journal of Mathematical Physics等综合期刊上。共同主办“2023年上海大学李理论青年论坛”、“2023年李理论及表示研讨会”。

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