非局部耗散Boussinesq型波动方程的适定性研究

In the framework of potential well, our project takes a comprehensive study on the local existence, global existence, the long-time behavior, the finite time blow up and the estimate of blowup time of the solution to the initial value problem for a class of nonlocal damped Boussinesq-type wave equations with different nonlinearities (logarithmic nonlinearity, exponential source terms and combined power-type nonlinearities) at three different initial energy levels(subcritical initial energy level, critical initial energy level and supercritical initial energy level). The aims of our project are to investigate not only the relationship among different nonlinearities (logarithmic nonlinearity, exponential source terms as well as combined power-type nonlinearities) and linear pseudo-differential operators as well as local well-posedness of solution and the depth of potential well, but also find the effect of initial data on the dynamic behavior of solutions for nonlocal damped Boussinesq-type wave equations with different initial energy levels(subcritical initial energy level, critical initial energy level and supercritical initial energy level). What is more, our project will consider and compare the mechanism of action of nonlinear source terms with respect to the depth of potential well and well-posedness of solutions in the framework of the same problem and reveal the action of the initial data and different nonlinear source terms as well as linear pseudo-differential operators on assuring the global existence or the finite time blowup of the solution with supercritical initial energy.

本项目利用位势井的理论及方法针对一类在不同非线性外力源(非线性对数源、非线性指数源及多项式形式的组合非线性源)作用下的非局部(耗散)Boussinesq型波动方程的初值问题的解的局部存在性和初始能级遍历整个实数空间时解的整体存在性、长时间行为、有限时间爆破及爆破时间进行系统且全面地研究，旨在研究拟微分算子及不同非线性外力源(非线性对数源、非线性指数源及多项式形式的组合非线性源)与局部解的适定性及位势井深的关系，找到非线性非局部(耗散)Boussinesq型波动方程的不同初始能级(次临界能级、临界能级及超临界能级)解的定性性质关于初值的依赖性，特别是本项目将在同一个问题框架下针对不同非线性外力源对位势井深的作用机制及对解的适定性的影响进行研究与比较，揭示初值与不同非线性外力源及拟微分算子的关系在保证超临界能级解的整体存在性或有限时间爆破中的作用。

项目利用位势井方法侧重研究了几类非线性色散偏微分方程的定性性质，揭示了不同形式的外力源与色散耗散项对于非线性偏微分方程的动力学性质的影响，指出了初值的划分对于不同能级整体解的存在性与非存在性及整体解的衰减性行为，尤其是对超临界能级解的有限时间爆破的影响。.项目基于Lagrangians坐标下的拟线性双曲发展方程的半群方法，获得了一类一维带旋转的广义Camassa-Holm方程的初值问题低正则性下的解的局部存在性、唯一性和连续性。项目研究了增长阶相对于多项式源较高的指数型源项对于双色散型波动方程的初值问题的超临界能级解的有限时间爆破行为的影响，克服了Poincare不等式的缺失与指数型非线性外力源的增长阶所带来的估计上的难度，证明了具有指数型源项的二维双色散广义Boussinesq方程的初值问题在任意正初始能级下解的有限时间爆破行为。项目应用变分理论在位势井框架下系统地研究了一类具线性拟微分算子与多项式形式外力源的非线性波动方程的Cauchy问题在三个能级(次临界、临界、超临界)下解的适定性，发现势能泛函与线性拟微分算子密切相关，并刻画了解的适定性关于初值的依赖关系。项目通过深入分析强耗散波动方程所对应的Nehari流形的性质，建立了强反耗散方法与对应超临界能级下的不变流形，改进了凹函数不等式，发现初始速度与初始位移的内积大小对初始能级的可控性是引起强耗散波动方程的超临界能级解有限时间爆破的一个充分条件。项目针对具有非线性应力项、耗散项和非线性外力源的四阶波动方程的初边值问题的渐近行为展开研究，揭示了这些非线性项间的交互性与初值的关系对于四阶色散波动方程的解的长时间行为的影响，拓宽了非线性应力项所满足的条件，弱化了阻尼项系数对于有限时间爆破行为的影响。.项目发表学术论文13篇，培养硕士研究生5人。

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