二次型以及数论中一些相关问题的研究

We will use some new methods, such as the Eichler transformation relations and the linear transformations, to study the problem of the Diophantine equations of quadratic forms.. The Eichler transformation relation is the most beautiful result in the theory of modular forms of the positive definite quadratic forms. We have extended and applied it to the quadratic forms, and we have got a lot of uncommon results. We also extend and apply the traditional linear transformation method.. Our research will be divided into several steps:. 1. Continue to extend our methods: the Eichler transformation relations and linear transformation methods;. 2. Use our new methods to study the important problems in the quadratic forms, such as the regular quadratic forms, the question of quadratic forms representing the arithmetic progressions, the Ramanujan ternary quadratic form.. 3. Use the quadratic forms to study the related problems in number theory and the relations between them and the quadratic forms, such as other Diophantine equations, elliptic curves, generalized congruent numbers.. 4. Use the quadratic forms to construct new types of forms, such as Jacobi forms, mock modular forms, and extend the classical theory of quadratic forms. In turn, use the new theory to study the quadratic forms.

本项目主要是使用Eichler变换关系和线性变换等一些新的方法来研究古老的二次型的丢番图方程问题。. Eichler变换关系是正定二次型的模形式理论中最漂亮的结果。我们把它进行了推广并应用到了二次型问题中，已经得到了很多非平凡的结果。我们也推广并应用了传统的线性变换方法。. 我们的研究将分成以下几个步骤：. 1、继续推广我们使用的Eichler变换关系和线性变换方法；. 2、应用我们的新方法，研究二次型中的重要问题，例如regular二次型、二次型表算术级数问题、Ramanujan三元二次型等。. 3、应用二次型研究相关的数论问题及其与二次型的关系，例如其他的丢番图方程，椭圆曲线，推广的同余数问题等。. 4、使用二次型构造新型的模形式，例如Jacobi形式、mock模形式等，并把经典的二次型模形式理论进行推广。反过来，再用新的理论研究二次型。

本项目主要是使用线性变换和Eichler变换关系等一些新的方法来研究二次型的相关问题。. 二次型是数论中一个历史悠久的分支，数学的许多分支被应用到二次型的研究中，得到了丰富的结果。例如二次型的算术理论、几何理论、解析理论和模形式理论。. Eichler变换关系是正定二次型的模形式理论中一个漂亮的结果。我们把它进行了推广并应用到了二次型问题中，得到了很多非平凡的结果。我们也推广并应用了传统的线性变换方法。. 我们结合多种方法来研究二次型丢番图方程，主要是 regular 问题、表奇数问题等，得到新的非平凡的结果。这些结果正在整理中。. 我们发现有限域上的二次型问题有着其他的应用，例如在完全非线性函数（即 bent 函数）、差集等方面的应用。这些概念在编码理论和量子通信中有应用。作为研究二次型的衍生成果，我们研究了二次型在数字通讯中的码本和量子通讯中的 POVM 等方面的应用。. 已发表的论文主要集中在对相关方法的应用和研究上：. 一、取一个由一些 n 维q元向量构成的一个 k 维子空间，一个很自然的问题是，在什么情况下，该子空间里面所有的向量都有一个极小性。我们给出了该问题的一个初步的回答：对于给定的 q、k，存在一个正整数 n(k;q)，使得当 n≥n(k;q)时，存在这样的子空间；当 n＜n(k;q)时，不存在这样的子空间。这样的问题在构造密码和编码解码中有一些应用。. 二、给定 N 个 K 维单位复向量构成的集合，一个自然的问题是，该集合中的向量的共轭距离的最大值最小可以是多少？如何构造这样的集合？我们给出了一些可以接近最小值的新的构造。这些结果在通讯系统中有些应用。. 三、对于一些具体的有限域上的方程组，我们给出了它的具体的解。这样我们可以回答一些关于纠错码的问题。

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