非球对称肿瘤生长自由边界问题

本项目旨在研究一类非球对称肿瘤生长模型的自由边界问题。这类模型描述如乳腺导管癌早期肿瘤、脑瘤等内部含有大量液态组织的肿瘤的生长和演变机理，其中包含两个反映肿瘤内部营养物和抑制物浓度变化的反应扩散方程，描述肿瘤细胞繁衍和运动的带源的Stokes方程，且自由边界上应力张量受表面张力系数制约影响。我们拟对这类自由边界问题进行严格的数学理论分析，具体研究：（1）非球对称时变解的存在唯一性和正则性；（2）自由边界的光滑性；（3）非球对称稳态解的存在性；（4）非球对称时变解当时间趋于无穷时的渐近性态（dynamics）。这些理论分析有助于探索肿瘤生长演变的规律和内在机理，并为当代肿瘤医学研究领域的相关课题提供数学理论基础。

本项目针对一个描述抑制物作用下的内含流体状细胞组织的肿瘤生长自由边界问题进行了严格的数学分析。该问题包含两个分别反映肿瘤内部营养物和抑制物浓度变化的反应扩散方程，和一个描述肿瘤细胞繁衍和运动的Stokes方程组。在泛函框架下，通过综合运用解析半群理论，Banach空间中抽象抛物型方程的几何理论，分歧理论等，我们证明了（1）当肿瘤表面张力系数γ为正时，该问题在Sobolev-Besov空间中是局部适定的，且自由边界关于时间空间变元都是解析的；（2）该问题存在球对称稳态解，在球对称稳态解处存在非球对称的分歧解；（3）存在一个表面张力系数临界值γ*，使得当γ>γ*时，若球对称稳态解在球对称的小扰动下渐近稳定，则该球对称稳态解在非球对称的小扰动下也是渐近稳定的；而当0<γ<γ*时，该球对称稳态解是不稳定的；并且对于非稳定的球对称稳态解，我们还刻画了它附近解的局部相图。此外，我们还分析了抑制物作用对肿瘤生长的影响，讨论了这些结果的生物学意义。这些结果丰富和发展了这类模型的数学理论基础，有利于进一步探索肿瘤的生长机制。

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