有限域上的逆Dickson多项式与Reed-Solomon码的代数译码算法

Permutational properties of special polynomials over finite fields and decoding linear codes are two hot topics in number theory and coding theory. Using theories and tools of computation algebra, algebraic number theory, finite geometry, and combinatorial design, this project aims to study permutation reversed Dickson polynomials and decoding problem of Reed-Solomon codes systematically and deeply. This project will study: 1. characterizing when reversed Dickson polynomials are permutations; 2. designing and improving decoding algorithms; 3. coding properties, including error correction ability, decoding failure probability and the mathematical correctness of the new algorithms. Topics studied in this project.will have great applications in theory and practice.

有限域上特殊多项式的置换性质和线性码的代数译码是数论和编码理论中的两个重要研究课题。本项目拟通过使用计算代数、代数数论、有限几何、组合设计等数学理论和工具，对逆Dickson多项式的置换性质和Reed-Solomon码的译码问题展开系统、深入的研究：1、刻画置换逆Dickson多项式的充分必要条件；2、设计Reed-Solomon码的译码算法; 3、研究新译码算法的编码性质，包括译码算法的纠错能力、译码失败概率和数学正确性等。这些课题的研究将具有重要的理论意义和应用价值。

有限域上的多项式理论、最优线性码的构造、代数译码问题以及一些相关的数论问题是数论和编码中的几个重要研究课题，一直以来都受到很多数学工作者的关注。早在1896 年, Dickson在其博士论文中开始研究有限域上一类多项式，得到了一些著名结果，这类多项式被称为Dickson 多项式，后来韩国数学家Kang Shin Won 教授从另外一个视角研究了Dickson 多项式，他将Dickson 多项式的变量进行交换，产生了新的多项式，后来人们称这新的多项式为逆Dickson。这些年有关有限域上逆Dickson的算术性质包括置换性质的研究十分活跃，但完全刻画逆Dickson在有限域上的置换行为仍是一个公开数学问题。另外，有限域上的不可约多项式的构造也是有限域理论中的热门话题，目前构造有限域上不可约多项式的主要方法之一是多项式的复合，即利用已有的多项式f(x)和g(x)，去回答f(g(x))是否可约，一般情况下，这仍是一个比较困难的问题。通过有限环上码的构造得到有限域上最优码的构造是最近几年编码领域的研究热点之一，这是因为从有限环到有限域上的Gray映射是一个保权重不变的映射，从而通过研究有限环上码的Lee权重分布可以得到对应有限域上码的Hamming权重分布，最后可得一些有限域上最优的线性码。Reed-Solomon 码是如今人们实际使用最广泛和最受欢迎的码，这类码的译码问题一直是信息安全、计算科学以及应用数学等领域最核心最热门的研究课题之一，它是指在码中找一个码字c 使得|c-r|<e，其中e是给定的错误距离，r是接收到的码字。基于此，利用数论、组合等数学理论和工具我们主要研究了：(a)有限域上的逆Dickson多项式的置换性质，刻画了几类置换逆Dickson多项式；(b)有限域上的不可约多项式的构造，构造了一类无穷不可约多项式簇，为有限域上不可约多项式的构造提供新的方向；(c)四元环上一类最优码的构造及其Lee重量分布；(d)通过研究可表为两个特定方幂和的连续整数问题，从而继续回答了一个组合数论中的公开问题；(e)通过研究某类特殊序列的Frobenius问题，从而将一个已知结果推广到更一般的情形；(f)利用类似广义的辗转相除法的原理去设计Reed-Solomon码的译码算法，从而将译码过程可视化并且可将译码半径进一步优化。

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