基于偏微分方程耦合模型的板块运动和地形地貌演变的正反演理论和算法研究

The project aims to investigate the mathematical modeling, theoritical analysis and numerical algorithm for the coupled modeling between the tectonic processes and the geomorphological processes. We shall set up a realistic modeling to simulate the complex process. This coupling consists of a 3-D convection-diffusion equation and a 2-D geomorphological process, which is difficult to be solved. In this project,we shall conduct the research on the forward and inversion theories for the coupling. We prove the well-posedness of the forward problem, as well as offer a convergence analysis for a forward numerical algorithm. For the inverse problem, we give the inversion theory for the individual mathematical modeling, and design an inversion algorithm based on real applications. This topic stands on the frontier's investigation in the world, which attracts more attention among the geological and mathematical communities. Few reports are published in China. The project conducted has a significance for developing and understanding the mathematical therories and numerical algorithms of the coupling between the tectonic processes and the geomorphological processes, as well as provides an important support for related geology and geophysics.

本项目主要研究地球板块运动及地形地貌随时间大尺度（数百万年）演变过程的数学模型、理论分析与数值算法。本项目将建立符合实际的数学模型来模拟这个复杂的耦合过程。该模型是一个三维混合边界对流扩散方程和一个二维地形地貌运动方程的耦合，求解十分困难。在本项目中，我们要对耦合方程进行正演和反演的理论研究。给出耦合模型正演适定性结果，并证明正演算法的收敛性。分别针对单独的数学模型给出反演理论结果，并根据实际情况，设计具有针对性的反演算法。此研究属国际前沿性课题，受到国际数学界和地质学界的广泛关注，国内在该方向研究的报道很少。本项目的开展，对发展和理解地球内部演变规律及地形地貌运动规律耦合问题的数学理论和数值算法具有重要意义，也将对相关的应用领域起到重要的支撑作用。

本项目主要研究地球板块运动及地球表面随时间大尺度（数百万年）演变过程的数学模型、理论分析与数值算法设计。在正演理论方面，给出耦合模型正演适定性结果，并证明了简化耦合模型的正演算法的收敛性；在反演理论方面，针对单独的数学模型给出反演理论结果。在正演算法方面，研究了自适应有限元算法并证明了收敛性；在反演算法方面，将稀疏正则化算法和同伦算法引进耦合模型中，提高了计算速度和重构精度。在实际数据处理方面，考虑到实际数据的随机性，将原有的确定性耦合模型提升为随机耦合模型，并研究了相应的重构算法。本项目取得的成果，对发展和理解地球内部演变规律及地表运动规律耦合问题的数学理论和数值算法具有重要意义，也将对相关的应用地球物理领域起到重要的支撑作用。

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