大维非中心化Fisher矩阵的谱分析及其应用

Many traditional multivariate statistical methods will become inefficient and generate misleading results when applied to high dimensional data situations. Recently, some researchers focus on improving the classical multivariate statistical procedures based on the random matrix theory under the large dimensional framework. But, there is no existing research on the spectral analysis of large dimensional non-central Fisher matrix. As the non-central Fisher matrix is very important in multivariate instrumental variables regression, this project is aimed to study its spectral analysis and the corresponding limit theories based on the random matrix theory. Specifically, the project consists of three parts: (1) to construct the limit spectral distribution and the limit theories of the largest and smallest eigenvalues of the non-central Fisher matrix; (2) to construct the central limit theory for linear spectral statistics; (3) to develop a precise framework for the identification of valid instruments and the detection of weak instruments for large dimensional instrumental variables regression, based on the spectral analysis of large dimensional Fisher matrix. The applicant is experienced in the random matrix theory and its applications in multivariate statistical analysis. The theoretical results yielded in this project will add to the limit theory of large dimensional random matrix on the one hand, and advance the analytical framework for multivariate instrumental variables regression, thereby providing useful guidance for real data analysis.

处理大维数据时，许多经典的多元统计方法存在一定程度的低效率甚至是不可应用。为适用于大维数据分析，近年来一些研究者应用随机矩阵理论改进传统的多元统计方法，建立更精确的极限理论。但关于非中心化F矩阵在大维情况下的谱分析还处于理论空白。基于非中心化F矩阵在工具变量回归中的重要性，本项目拟应用随机矩阵理论建立大维非中心化F矩阵的谱分析及其极限理论。具体研究内容叙述涵括三个方面：（1）建立大维非中心化F随机矩阵的极限谱分布和极端特征根的极限定理；（2）建立此类矩阵线性谱统计量的中心极限定理；（3）首次将大维非中心化F矩阵的谱分析应用于多元工具变量回归方法中，建立有效工具变量识别和弱工具变量检测的统一精确框架。申请人在随机矩阵理论及其在多元统计中的应用和多元回归分析方面具有丰富经验，本项目的结果不仅能够填补大维随机矩阵极限理论的空白，也能够完善多元工具变量回归的分析框架，从而指导实际数据分析。

处理大维数据时，许多经典的多元统计方法存在一定程度的低效率甚至是不可应用。为适用于大维数据分析，近年来一些研究者应用随机矩阵理论改进传统的多元统计方法，建立更精确的极限理论。在本项目执行过程中，我们主要研究了三方面的内容：其一是大维非中心化Fisher随机矩阵的极限谱分布，其二是相关系数矩阵在面板回归模型的极限谱分布研究及在超高维框架下的变点检测，其三是高维统计理论在交叉学科以及实际问题中的应用。在研究大维非中心化Fisher随机矩阵的极限谱分布问题中，发现跟随以往文献中的推导思路行不通，确定了已有的随机矩阵理论数学推导方法的局限性。在面板回归模型中残差项的独立性假设检验和球形阵检验中，使用相关系数矩阵在原始数据下的极限谱分布，通过回归模型传导，推导出残差项的相关系数矩阵的线性谱统计量的极限分布，从而建立了假设检验的方法。将相关系数矩阵用于建立全球气候网络模型用来建立印度季候风降雨量的预测模型，使用改进的面板回归模型用于空气污染对老年人血压的影响研究和估计新冠大流行期间公民政治极化对美国地方政府造成的财政成本。结合高维统计理论和复杂金融数据，建立上市企业和微小企业的信用风险评估模型。

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