sofic群作用的不变量

In this project we shall try to establish the correspondence between the invariants for sofic group actions in the three fields of topological dynamical systems and ergodic theory, operator algebras and L2-invariants theory, and representation theory. Specificially:..1) We shall introduce mean rank for modules of the group rings of sofic groups, study its basic properties, and use it to establish the correspondence between mean dimension in topological dynamical systems and von Neumann-Luck rank in the L2-invariants theory, for sofic groups. ..2) We shall introduce relative entropy and conditional entropy for actions of sofic groups, develope their basic theory; meanwhile we shall study extension of f-invariants to actions of sofic groups, and study its correspondence with the L2-torsion in the L2-invariants theory. ..These studies will establish new connections between these three fields, whence deepen our understanding of these fields.

本项目将主要致力于建立拓扑动力系统和遍历论、算子代数和L2-不变量理论、表示论这三个领域中sofic群作用的不变量之间的对应关系。具体而言：.1）我们将对sofic群的群环的模引入均值秩，研究其基本性质，进而以其为工具建立sofic群情形下拓扑动力系统中的均值维数与L2-不变量理论中von Neumann-Luck秩之间的对应关系。.2）我们将对sofic群的作用引入条件熵和相对熵，发展其基本理论；同时我们研究遍历论中sofic群作用下f-invariant的推广，并研究其与L2-不变量理论中L2-挠之间的对应关系。.这些问题的研究将建立这三个领域之间新的联系，从而加深人们对这三个领域的理解。

熵和均值维数在拓扑动力系统和遍历论中起着重要作用，不仅因为它们是有用的不变量，也因为它们与别的领域如群论和L2-不变量理论有着丰富的联系。本项目主要研究内容集中在sofic群作用的相对熵和条件熵，均值维数与von Neumann-Lück秩的关系，伊甸园定理，和组合独立性。其主要研究结果包括：（1）证明了sofic群的代数作用的均值维数这一动力系统不变量对应着von Neumann-Lück秩这一L2-不变量；（2）对顺从群的具有弱碎轨性质的可扩代数作用建立了伊甸园定理；（3）对可数交换群的由群环中的弱可扩元素定义的连通空间上的主代数作用建立了伊甸园定理；（4）证明了任一有限生成的非交换的自由群都有一个极小的null作用是某个effective强proximal作用的有相对不变测度的非开的扩充，这回答了Glasner的一个问题；（5） 证明了任一可数群的任一distal作用的naive熵都为零，这回答了Bowen的一个问题；（6）将任一有单位元的环R上的任一Sylvester秩函数扩展到了所有由一个左R模包含于另一左R模所组成的模对，也扩展到了所有左R模之间的模同态，同时满足包括连续性和可加性在内的一些好性质。本项目的研究结果对进一步理解可数群的作用及这些作用与L2-不变量之间的联系有重要意义。

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